Não consigo entender minhas próprias soluções para $\log_5(3x-1)<1$ e $\log(6/x)>\log(x+5)$
Aqui, tenho dois exemplos de desigualdades logarítmicas. Apesar de ser capaz de resolver, eu simplesmente não conseguia entender totalmente meu próprio processo.
$\boxed{\text{Example 1: }\log_5(3x-1)<1}$
$\log_5(3x-1)<1 \Longleftrightarrow 3x-1<5 \Longleftrightarrow x<2$
Mas a solução não é $x\in(-\infty, 2)$
Agora, considerando os valores para $x$ Onde $\log_5(3x-1)$ é definido: $ 3x-1>0 \implies x>\frac{1}{3}$
A solução é a interseção. $$(-\infty, 2)\cap \left(\frac{1}{3}, \infty \right) \implies x\in \left(\frac{1}{3}, 2\right)$$
$\boxed{\text{Example 2: }\log \left(\frac{6}{x}\right)>\log(x+5)}$
Novamente, eu resolvi
$\frac{6}{x}> x+5$ e $x+5>0$, Como $x>-5$ sendo o intervalo de valores definidos para os logaritmos. $$\frac{6}{x}> x+5 \Longleftrightarrow \frac{6}{x}-x-5 > 0 \Longleftrightarrow \frac{x^2+5x-6}{x}<0 \Longleftrightarrow \frac{x^2+5x-6}{x}<0 \Longleftrightarrow \frac{(x+6)(x-1)}{x} < 0$$
Então, eu apenas fiz a mesa e peguei $(-\infty, -6)\cup (0, 1) $
A solução para este problema é $ ((-\infty, -6)\cup (0, 1))\cap (-5, \infty) \implies x\in(0, 1) $
Os objetivos desta questão são:
- Entenda como resolver melhor as desigualdades, entenda de forma mais intuitiva;
- Entenda como funcionam as desigualdades, entenda-o também de forma mais intuitiva;
- Porque a resposta é a intersecção da "solução" com os valores definidos;
Lamento se a pergunta for muito elementar, mas qualquer dica seria bem-vinda.
Respostas
Parece que você tem algumas ideias.
Esta é a nossa definição básica $\log_b x = y \implies x = b^y$
E se $y = 1$
$\log_b x = 1 \iff x = b$
Existem algumas características básicas da função.
A função está "aumentando monotonicamente". Isso é$\log x > \log y \iff x > y$
A função é "injetiva": $\log x = \log y \iff x = y$
E, o domínio de $\log x = (0,\infty).$ E se $x<0$ a função não está definida.
Você não precisa saber essas palavras do vocabulário. Você precisa entender as implicações no que se refere à função logaritmo.
Para os problemas em questão.
$\log_5 (3x-1) < 1 \implies 3x-1 < 5$das duas primeiras regras. E$3x-1 > 0$ da última regra
Acho uma boa ideia listar todas essas restrições de início.
Podemos escrever assim: $0< 3x - 1 < 5$
$\frac 13 < x < 2$
Para o segundo problema:
$\log \frac 6x > \log (x+5)\\ \frac 6x > x + 5 \text { and }\frac{6}x > 0 \text { and } x+5 > 0$
Felizmente, $\frac{6}x > 0 \implies x > 0 \implies x+5 > 0$ para que possamos eliminar a última restrição.
O constrangimento $x>0$ nos faz um serviço, em que podemos multiplicar por $x$sem se preocupar em inverter o sinal sobre a desigualdade. Se houvesse a possibilidade de x ser negativo, não poderíamos fazer isso.
$0 > x^2 + 5x - 6$ e $x>0$
$0>(x+6)(x-1)$ e $x>0$
A primeira desigualdade tem solução $(-6,1)$ e o segundo $(0,\infty)$
$(0,1)$ seria o intervalo em que ambos seguram.
Você parece estar resolvendo essas desigualdades muito bem. Talvez seja melhor, como sugerido nos comentários, declarar as restrições primeiro e depois trabalhar a partir daí.
Na primeira pergunta, por exemplo, você obtém uma solução primeiro ($x<2$) e, a partir daí, aplique as restrições. Acho que é isso que pode estar deixando você confuso com o seu processo.
Quando você recebe o logaritmo $\log_5(3x-1)$, você deve primeiro encontrar os valores de $x$ satisfatório $3x-1>0$, para garantir que você não cause acidentalmente um número negativo no seu logaritmo. Depois de obter$x>\frac{1}{3}$, então você pode começar a procurar uma solução para a desigualdade. Depois de obter$x<2$, será fácil para você aplicar a restrição sem ter que pensar sobre isso.
A mesma coisa vale para o segundo, mas você não considerou o logaritmo à esquerda também ao determinar as restrições (ou seja, você obteve$x>-5$ mas você não conseguiu $x>0$, o que o deixa mais perto da resposta). Eu acho que isso te teria economizado algum tempo.
Espero que isso ajude você.