O morfismo entre o domínio integral e o campo é injetivo?

Question

Acabei de ler em minhas notas de álgebra linear a seguinte declaração: Seja A um domínio integral e K um campo. Qualquer morfismo de anel diferente de zero$\phi : A \to K$ é injetivo.

Eu acho que esta afirmação é falsa, considerando o morfismo $$\phi : \mathbb Z \to \mathbb Z /2 \mathbb Z$$ $$n \to [n]$$ Este é um morfismo entre um domínio integral e um campo, mas claramente não injetivo.

Então, a afirmação está errada? Tenho certeza do contra-exemplo, mas cada vez que discordava das anotações do meu professor, estava errado.

Answer 1

Você está correto. Aqui estão duas possibilidades para o que a declaração deveria ter sido:

1. Qualquer morfismo de $K \to A$ é injetivo (porque o kernel é um ideal de $K$ e os únicos ideais são $(0)$ e $(1) = K$) Não importa tanto que$A$ é um domínio integral aqui, além de saber que $A \neq 0$. E se$A$ estavam $0$ então $K \to 0$ é não injetivo.

2. O mapa $A \to \operatorname{Frac}(A)$ é injetivo.