O que é uma categoria infinita, realmente?
Estou interessado em exatamente quais informações uma categoria infinita codifica. Por exemplo, considere a categoria infinita de espaços. Gosto de pensar nisso como a categoria de homotopia de espaços equipados com alguma estrutura extra, proveniente do modelo de conjunto simplicial, que nos permite calcular limites de homotopia e assim por diante. Minha pergunta (um tanto vaga) é:
- Quão única é essa estrutura? Em outras palavras, dada uma categoria de homotopia, existe uma categoria canônica de infinito associada?
- Da mesma forma, as categorias infinitas codificam qualquer informação que não seja homotópica (com isso, quero dizer informações que não podem ser obtidas da categoria homotopia) na natureza? Em caso afirmativo, o que?
Respostas
Acho útil considerar um análogo de dimensão muito inferior à sua pergunta, que é (pelo menos para mim) muito mais fácil de raciocinar intuitivamente, mas ainda transmite parte da mensagem.
vamos comparar$0$-categorias (ou seja, conjuntos) e$1$-categorias (ou seja, categorias) com base no que eles podem codificar.
- uma$0$-category é apenas uma classe de objetos. Dois objetos de um$(0,1)$-categoria são equivalentes precisamente se forem iguais (este é o$0$- truncamento categórico de equivalência), e nada mais pode realmente ser dito sobre os objetos.
- uma$1$-categoria é um$0$-categoria (fracamente) enriquecida em$(0,0)$-categorias (ou seja, conjuntos), o que nos permite ser mais delicados sobre como um objeto se relaciona com outro; em particular, os morfismos nos permitem descrever a estrutura dos objetos, e$1$A linguagem categórica, portanto, aborda as propriedades dos objetos em relação à sua estrutura. Mais precisamente, dois objetos de um$1$-categoria são equivalentes precisamente se forem isomórficas (isto é, têm a mesma estrutura) e$1$-construções categóricas (como co/limites) são definidas até o isomorfismo.
Dado um$1$-categoria$\def\cC{\mathcal C}$ $\cC$, podemos definir sua homotopia$0$-categoria $\def\Ho{\operatorname{Ho}}$ $\Ho\cC$Enquanto o$0$-categoria cujos objetos são classes de isomorfismo de objetos de$\cC$. Isso serve como uma apresentação eficaz de$\cC$com um$0$-categoria no sentido de que objetos de$\cC$são isomórficos precisamente se os objetos correspondentes em$\Ho\cC$são iguais.
No entanto, também podemos ver que é difícil fazer engenharia reversa, mesmo canonicamente, já que vários não equivalentes$1$-categorias podem ter a mesma homotopia$0$-categoria. A maneira mais rápida de ver isso é observar que um$0$-categoria$X$pode ser pensado como um$1$-categoria com apenas morfismos de identidade, e neste caso$\Ho X=X$; em particular, dado qualquer$1$-categoria$\cC$, sua homotopia$0$-categoria$\Ho\cC$é também uma apresentação do$0$-categoria$X := \Ho\cC$ visto como um$1$-categoria . qual de$\cC$e$X$seria uma escolha mais adequada de um "canônico$1$-categoria" associada a$\Ho\cC$?
Além disso, como os comentários mencionam, é quase impossível executar$1$-construções categóricas na homotopia$0$-categoria: os únicos diagramas$F:J\to\Ho\cC$que têm limites são diagramas constantes. De fato, mesmo se estivéssemos calculando o limite de um functor$F:J\to\cC$onde todos os objetos no diagrama eram isomórficos entre si (ou seja, o mapa induzido$F:\operatorname{Ob}J\to\Ho\cC$é um mapa constante) de modo que o limite na homotopia$0$-categoria existe, o limite em$\Ho\cC$não precisa estar relacionado de forma alguma com o limite em$\cC$. Por exemplo, o produto cartesiano$X\times X$geralmente não é isomorfo a$X$, mas o limite no mapa correspondente$\{\bullet\,\,\,\bullet\}\to\Ho\cC$(que é um mapa constante) sempre será a classe de isomorfismo de$X$.
A história é semelhante para$(\infty,1)$-categorias. Como estas podem ser pensadas como categorias fracamente enriquecidas em espaços (ou$\infty$-groupoids), podemos ser ainda mais delicados sobre como comparamos objetos. Assim como as categorias se preocupam com a estrutura dos objetos,$(\infty,1)$-categorias estão preocupadas com a estrutura coerente de homotopia de objetos. Por exemplo:
- considere os espaços topológicos$\Bbb R$,$(0,1)$, e$\{0\}$. Se olharmos para eles$0$-categoricamente (no$0$-categoria$\mathbf{Top}_0$de espaços topológicos), então eles são todos completamente diferentes, pois consistem em elementos diferentes. Se olharmos para eles$1$-categoricamente (no$1$-categoria$\mathbf{Top}$de espaços topológicos e mapas contínuos), então$\Bbb R$e$(0,1)$são iguais porque têm a mesma estrutura topológica, mas são diferentes$\{0\}$porque eles não podem ser colocados em bijeção. Finalmente, se olharmos para eles$(\infty,1)$-categoricamente, então todos os três objetos são os mesmos, pois podem ser contraídos em um ponto.
- da mesma forma, considere as categorias$\mathbf{FinSet}$de conjuntos finitos e sua subcategoria completa$\mathbf{FinOrd}$em ordinais finitos. Eles são não isomórficos como categorias porque o primeiro tem uma classe própria de objetos, enquanto o segundo tem um conjunto e, portanto, não pode ser colocado em bijeção; no entanto, eles são equivalentes como categorias porque podemos contrair os objetos de$\mathbf{FinSet}$juntos por bijeções juntos (por suas cardinalidades) e descubra que$\mathbf{FinOrd}$é o esqueleto de$\mathbf{FinSet}$
Certamente podemos associar a um$(\infty,1)$-categoria$\def\sC{\mathscr C}$ $\sC$uma categoria de homotopia$\Ho\sC$, onde objetos de$\Ho\sC$são isomorfos precisamente se são equivalentes em$\sC$, mas vemos o mesmo problema ao tentar fazer a engenharia reversa disso. Assim como antes, uma categoria$\cC$pode ser pensado como um$(\infty,1)$-categoria onde todas as células superiores são triviais, e neste caso$\Ho\cC=\cC$, então dado um$(\infty,1)$-categoria$\sC$, sua categoria de homotopia é também uma apresentação da categoria$\cC := \Ho\sC$ visto como um$(\infty,1)$-categoria .
Além disso, computar limites em$\Ho\sC$não dirá nada sobre como calcular limites em$\sC$. Por exemplo, considere o$(2,1)$-categoria$\mathbf{Cat}$de (pequenas) categorias, functores e isomorfismos naturais, vistos como uma$(\infty,1)$-categoria. Então, sua categoria de homotopia$\Ho\mathbf{Cat}$realmente falha em ter pullbacks, o que é mostrado aqui . A distinção entre limites de homotopia em geral e limites na categoria de homotopia correspondente também é enfatizada aqui , onde eles enfatizam que mesmo que o limite em$\Ho\sC$existe, não precisa corresponder ao limite em$\sC$.
Em certos casos, você pode apresentar um$(\infty,1)$-categoria com um$1$-categoria equipada com estrutura extra para que você possa trabalhar com$1$-linguagem categórica para discutir a estrutura do$(\infty,1)$-categoria que ele apresenta, e você pode até conseguir recuperar o$(\infty,1)$-categoria canonicamente. Por exemplo, se$\sC$é um localmente apresentável$(\infty,1)$-category , então você pode apresentá-lo com uma categoria de modelo simplicial combinatória$\cC$. Então, limites em$\sC$correspondem aos limites de homotopia em$\cC$, e eles ainda têm as mesmas categorias de homotopia. Além disso, você pode recuperar$\sC$por (por exemplo) tomando o nervo homotopia coerente da subcategoria simplicialmente enriquecida de$\cC$nos objetos fibrantes cofibrantes, portanto, nesse sentido, também há uma maneira canônica de retroceder.