O que este conjunto realmente significa / contém? [duplicado]

Question

Estou tendo problemas para entender o seguinte conjunto:

$$\mathbb{Z}[\sqrt{2}] := \{ a + \sqrt{2}b : a,b \in \mathbb{Z}\}$$Que elementos ele realmente contém? eu pensei$\mathbb{Z}$ contém apenas inteiros, então o que a raiz de $2$ atrás $\mathbb{Z}$ significar?

Obrigado.

Answer 1

Você está certo: $\mathbb{Z}$contém apenas inteiros. O conjunto exibido aqui, porém, é um subconjunto de$\mathbb{R}$ e, portanto, pode conter $\sqrt{2}$.

A notação diz que contém todos os elementos do formulário $a+\sqrt{2}b$, Onde $a$ e $b$são inteiros. Deixe-me dar a você alguns exemplos:

$a=b=1$: Então $a+\sqrt{2}b = 1+\sqrt{2}$.

$a=b=0$: Então $a+\sqrt{2}b = 0$.

$a=3, b=-2$: Então $a+\sqrt{2}b = 3-2\sqrt{2}$.

$b = 0$: Então $a+\sqrt{2}b = a$e por causa disso, qualquer número inteiro está em seu conjunto. Mas, como você viu, também não inteiros, como$1+\sqrt{2}$ pode fazer parte desse conjunto.

Espero que isso ajude a esclarecer um pouco as coisas.