O que exatamente queremos dizer com “densidade” na função Densidade de Probabilidade (PDF)? [duplicado]
Em geral, a densidade é massa / volume. Também é usado para algo como densidade populacional, que é população / unidade de área.
Qual é o significado da densidade de palavras em PDF?
Respostas
Resposta curta: Como na densidade física, a densidade de probabilidade é probabilidade / volume.
Resposta longa: para objetos homogêneos, a densidade pode ser definida como você disse,$m/V$, com $m$ denotando massa e $V$seu volume. No entanto, se o seu objeto não for homogêneo, a densidade é uma função das coordenadas do espaço dentro do objeto:$$ \rho(x, y, z) = \lim_{\Delta V \rightarrow 0} \frac{\Delta m(x, y, z)}{\Delta V} $$ou seja, a massa dentro de um volume infinitesimal em torno das coordenadas fornecidas, dividida por esse volume infinitesimal. Pense em um pudim de ameixa: a densidade das passas é diferente da densidade da massa.
Para probabilidade, é basicamente o mesmo: $$ f(x, y, z) = \lim_{\Delta V \rightarrow 0} \frac{\Delta F(x, y, z)}{\Delta V} $$ Onde $f$ é a função de densidade de probabilidade (PDF) e $F$ a função de densidade cumulativa (CDF), de modo que $\Delta F$ é a probabilidade infinitesimal no volume infinitesimal $\Delta V$ nas proximidades das coordenadas $(x, y, z)$ no espaço sobre o qual $F$ é definido.
Agora, vivemos em um mundo físico com três dimensões espaciais, mas não estamos limitados a definir probabilidades apenas sobre o espaço. Na prática, é muito mais comum trabalhar com probabilidades definidas em uma única dimensão, digamos,$x$. Então, o acima se simplifica para$$ f(x) = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta F(x)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{F(x+\Delta x) - F(x)}{\Delta x} $$ Mas, claro, dependendo do seu modelo de probabilidade, $F$ e $f$ pode ser definido em qualquer número de dimensões.
Você pode ver a derivada Radon-Nikodym como uma definição formal de uma noção mais geral de densidade.
É a proporção de duas medidas (que têm a propriedade extensiva , são aditivas ) definidas no mesmo espaço .
$$\rho = \frac{d \nu}{d \mu}$$
Esta proporção torna a medida de uma quantidade $\nu$ de um conjunto $S$ expressável por uma integral sobre a outra medida $\mu$ $$\nu(S) = \int_S \rho d \mu$$
Normalmente o denominador $\mu$é uma medida baseada em uma medida métrica como distância, área ou volume. Isso é comum para densidades em física como densidade de massa, densidade de energia, densidade de carga, densidade de partícula.
Com a densidade de probabilidade, o denominador pode ser mais geralmente outro tipo de variável que não se relaciona ao espaço físico . No entanto, muitas vezes é semelhante no uso da medida euclidiana ou medida de Lebesgue . Acontece apenas que a variável não precisa ser uma coordenada no espaço físico.
Para uma única variável aleatória contínua, o valor da pdf no ponto $t$informa a densidade da massa de probabilidade , medida em unidades de massa de probabilidade por unidade de comprimento , no ponto$t$na linha real. A densidade da massa de probabilidade pode ser diferente em diferentes pontos da linha real; não é tão fácil quanto a prescrição de massa / volume da física do ensino médio.