Obtendo representações de palavras mínimas inesperadas para o elemento do GAP

Aug 17 2020

Estou trabalhando com um grupo de permutação gerado por alguns geradores específicos:

r1 := (1,2,3,4,5,6);
r2 := (7,8,9,10,11,12);
s1 := (1,7,10,4);
s2 := (2,8,11,5);
s3 := (3,9,12,6);

Também tenho um conjunto de elementos de um subgrupo que escrevi nos seguintes termos:

f1 := r1*s1^(-1)*s2*r2^(-1);
f15 := r2^(2)*s1*s3^(2)*r1;

No entanto, se eu usar GAP para me fornecer as representações mínimas desses dois elementos, ele retornará o que eu esperava para f1, mas não para f15.

Em particular:

puzzle := Group([r1,r2,s1,s2,s3]);; Size(puzzle);
479001600
brk_2> hom := EpimorphismFromFreeGroup(puzzle: names:=["r1","r2","s1","s2","s3"]);;
brk_2> PreImagesRepresentative(hom, f1);
r1*s1^-1*s2*r2^-1
brk_2> PreImagesRepresentative(hom, f15);
s3^2*r1^-1*s2*r1^2*s2*r1*s2^-1*(s1^2*r1^-2)^2*s1^2*r1

Por que GAP não retorna uma palavra de comprimento 6 para f15, já que claramente existe uma?

Referência: Aqui está a documentação que mostra este método para gerar palavras mínimas.

Nota: A palavra expressa parece ser igual a f15:

brk_2> s3^2*r1^-1*s2*r1^2*s2*r1*s2^-1*(s1^2*r1^-2)^2*s1^2*r1;
(1,7)(2,3,12,8,5,6,9,11,10,4)
brk_2> f15;
(1,7)(2,3,12,8,5,6,9,11,10,4)

Respostas

3 MaxHorn Aug 17 2020 at 17:28

Não PreImagesRepresentativeé garantido que a função retorne uma palavra mínima e não vejo nada no manual do GAP afirmando o contrário. A seção a que você se refere está tecnicamente correta, mas na verdade um tanto enganosa (e, portanto, tentarei alterá-la): é possível que no exemplo citado uma palavra mais curta tenha sido encontrada - simplesmente não é garantido!

Para realmente obter uma palavra mínima, você pode usar a Factorizationfunção. Continuando seu exemplo, obtemos isso:

gap> Factorization(puzzle, f15);
r2^2*s3^2*s1*r1