Orientação de fixação do manifold liso conectado em $\mathbb{R}^n$ por um único gráfico
Estou estudando em Zorich, Mathematical Analysis II, 1ª ed. pag. 174-175. Depois de ter explicado corretamente como as orientações (classes de equivalência) são definidas para superfícies k-dimensionais lisas em$\mathbb {R} ^ n$ que pode ser descrito com um único mapa, vá para o caso mais geral, definindo os significados de:
- gráficos consistentes,
- orientando atlas,
- classes de equivalência para orientar atlas (possíveis orientações da superfície).
Tendo feito isso, ele afirma, sem prova, que uma superfície k-dimensional lisa conectada só pode ter duas orientações possíveis. Dessa afirmação ele deduz imediatamente que para fixar uma orientação em uma superfície desse tipo não é necessário exibir um atlas inteiro de gráficos consistentes, mas é suficiente exibir um único gráfico.
Eu estava tentando provar por quê, mas não consigo. Presumi, por absurdo, que tinha dois atlas de orientação diferente, feitos de gráficos consistentes aos pares, contendo um gráfico comum$ \varphi_1 $:
$$A_1=\{\varphi_1,\varphi_2,...,\varphi_m,...\}$$ $$A_2=\{\varphi_1,\varphi'_2,...,\varphi'_m,...\}$$
mas daqui não consigo chegar a nenhum absurdo. Alguém pode me ajudar por favor?
Respostas
Vou usar a terminologia "manifold" ao invés de "superfície", porque "superfície" geralmente significa bidimensional.
Deixe-me usar a notação $M$ para o coletor em questão.
Você tem que de alguma forma fazer uso da hipótese de que a variedade $M$está conectado. Uma vez que variedades são conectadas localmente por caminho, você pode usar o teorema de que um espaço conectado localmente por caminho é conectado por caminho.
Considere o gráfico comum $\varphi_1 : U_1 \to \mathbb R^k$ no $A_1 \cap A_2$, e fixe um ponto base $p \in U_1$.
Agora vou provar diretamente que qualquer gráfico em $A_1$ e qualquer gráfico em $A_2$ são consistentes em qualquer ponto de sua sobreposição.
Considere qualquer $x \in M$e escolher gráficos $\phi_I : U_I \to \mathbb R^k$ no $A_1$ e $\varphi'_J : U'_J \to \mathbb R^k$ no $A_2$, de tal modo que $x \in U_I \cap U'_J$. Temos que mostrar isso$\varphi_I$ e $\varphi'_J$ são consistentes no ponto $x$.
Usando a conectividade de caminho do coletor $M$, escolha um caminho contínuo $\gamma : [0,1]$ de tal modo que $\gamma(0)=p$ e $\gamma(1)=x$. Desde os sets$\{U_i \cap U'_j\}_{i,j}$ cobrir $M$, suas imagens inversas $\{\gamma^{-1}(U_i \cap U'_j)\}_{i,j}$ cobrir $[0,1]$. Aplicando o lema do número de Lebesgue, podemos escolher um inteiro$N \ge 1$, e decompor $[0,1]$ em subintervalos $I_m = [\frac{m-1}{N},\frac{m}{N}]$, $m=1,\ldots,N$, de modo a $\gamma(I_m)$ é um subconjunto de uma das interseções $U_{i(m)} \cap U'_{j(m)}$.
Nós sabemos isso $\varphi_{i(1)}$ e $\varphi'_{j(1)}$ são ambos consistentes um com o outro em $\gamma(0)=p$, porque ambos são consistentes com $\varphi_1$. Considere o caminho$\gamma \mid I_1$ e deixar $t \in I_1 = [0,1/N]$ varia de $0$ para $1/N$. Como$t$ varia, o determinante da derivada do mapa de sobreposição dos dois gráficos $\varphi_{i(1)}$ e $\varphi'_{j(1)}$ varia continuamente, é diferente de zero em todos os lugares e é positivo em $t=0$, portanto, é positivo em $t=1/N$. Isso prova que$\varphi_{i(1)}$ e $\varphi'_{j(1)}$ são consistentes em $\gamma(1/N)$.
Agora fazemos uma prova de indução: assumindo por indução que $\varphi_{i(m)}$ e $\varphi'_{j(m)}$ são consistentes em $\gamma(m/N)$, nós provamos isso $\varphi_{i(m+1)}$ e $\varphi'_{j(m+1)}$ são consistentes em $\gamma((m+1)/N)$. Desde a$\varphi_{i(m)}$ e $\varphi_{i(m+1)}$ são consistentes em $\gamma(m/N)$, e desde $\varphi'_{j(m)}$ e $\varphi'_{j(m+1)}$ são consistentes em $\gamma(m/N)$, segue que $\varphi_{i(m+1)}$ e $\varphi'_{j(m+1)}$ são consistentes em $\gamma(m/N)$. Agora a prova continua como no parágrafo anterior, usando a continuidade do determinante da derivada do mapa de sobreposição dos dois gráficos$\varphi_{i(m+1)}$ e $\varphi'_{j(m+1)}$ em $\gamma(t)$, Como $t \in I_{m+1}$ varia de $m/N$ para $(m+1)/N$, e a consistência desses gráficos em $\gamma(m/N)$, para deduzir consistência em $\gamma((m+1)/N)$. Isto completa a etapa de indução.
Para completar a prova, mostramos que $\varphi_{i(N)}$ e $\varphi'_{j(N)}$ são consistentes em $\gamma(N/N)=x$. Nós também sabemos que$\varphi_I$ É consistente com $\varphi_{i(N)}$, e $\varphi'_J$ É consistente com $\varphi'_{j(N)}$ em $x$. Portanto,$\varphi_I$ e $\varphi'_J$ são consistentes em $x$.
Deixei $M$ seja seu $k$-superfície dimensional oreinted em relação ao gráfico $\{ \varphi_i\}_i$, $\varphi_i : \mathbb R^k\rightarrow U_i \subset_{open } M $. $\exists \ \omega\in \Omega^k(M)$ de tal modo que $\omega$não está desaparecendo em todos os pontos. Isso é possível porque$M$ é orientável. $\varphi_i^*\omega=g_i \lambda$ Onde $\lambda=dx_1\wedge dx_2\wedge \dots dx_n$ e $g_i:\mathbb R^k \rightarrow \mathbb R$é uma função suave que não desaparece. Uma vez que os gráficos são consistentes, todos$g_i$são positivos ou todos negativos. Suponha que todos os$g_i$são positivos.
Agora você tem os gráficos $\{ \varphi_1, \varphi_j'\}_j $ Como antes de obtermos $\varphi^*_1 \omega =g_1\lambda$ e ${\varphi'}_j^*\omega=h_j \lambda$. Pela mesma lógica acima, obtemos qualquer um$\{g_1, h_j \}_j$são todas funções positivas ou todas negativas. Mas desde$g_1$ é positivo, temos tudo $h_j$são positivos. Assim, você obtém a mesma orientação.