Papel da monotonicidade em sequências de variação limitada.

Aug 16 2020

Lembre-se disso; Uma sequência$\left\{x_{n}\right\}$de números reais é dito ser de variação limitada se a série$$ \sum_{k=2}^{\infty}\left|x_{k}-x_{k-1}\right| $$Converge.

Sabemos que a sequência convergente não precisa ser uma sequência de variação limitada tomando$x_n=\frac{1}{n}$por igual$n$e$0$para ímpar$n$. Mas e as sequências convergentes monótonas? São sequências de variação limitada? Se sim, como provar isso?

Respostas

4 ArcticChar Aug 16 2020 at 16:52

Dica: Se$\{x_n\}$está aumentando,

$$\sum_{k=2}^n |x_k - x_{k-1}| = \sum_{k=2}^n x_k - x_{k-1} = x_n - x_1.$$