Para quais valores de$\alpha$é {$z_n$} uma sequência limitada?

Aug 16 2020

Onde$\alpha$é uma constante real, considere a sequência {$z_n$} definido por$z_n=\frac{1}{n^\alpha}$. Para qual valor de$\alpha$é {$z_n$} uma sequência limitada?

Como começo com esse tipo de pergunta? eu penso isso$\forall\space \alpha\in\Bbb{R}_{\geq0}$a sequência é convergente e, portanto, limitada, mas como posso escrevê-la?

Respostas

1 Zuy Aug 16 2020 at 17:30

Se$\alpha=0$,$(z_n)$é constante, portanto limitada.

Se$\alpha>0$,$(z_n)$converge para 0 e é, portanto, limitado.

Se$\alpha<0$,$(z_n)$diverge para$+\infty$e, portanto, é ilimitado.

1 BenGrossmann Aug 16 2020 at 17:32

Como afirmo no comentário, você tem a resposta correta. A única tarefa restante é dar uma explicação formal da resposta. Uma maneira de escrever uma resposta é a seguinte:

Primeiro, notamos que a função$f: \Bbb [1,\infty) \to \Bbb R$definido por$f(x) = x^{\beta}$satisfaz$$ \lim_{x \to \infty}f(x) = \begin{cases} 0 & \beta < 0\\ 1 & \beta = 0\\ \infty & \beta > 0. \end{cases} $$Suspeito que você não precise provar esta afirmação formalmente: é provável que haja uma afirmação no livro didático à qual você possa se referir.

Com isso estabelecido, resolva o problema em$3$casos: no caso que$\alpha < 0$, conclua usando o fato acima que$\lim_{n \to \infty} z_n = \infty$, o que significa que a sequência não é limitada. No caso que$\alpha = 0$, Conclua isto$z_n \to 0$, o que significa que a sequência é convergente e, portanto, limitada. Da mesma forma, se$\alpha > 0$, Conclua isto$z_n \to 0$, o que significa que a sequência é convergente e, portanto, limitada.

Assim, concluímos que a sequência é limitada se e somente se$\alpha \geq 0$.