Para $\triangle ABC$, mostre isso $ac\cos B+ab\cos C-bc\cos A-a^2 \le \frac{c^2}{8\cos^2(90^\circ-C)}$

Question

Triângulo $\triangle ABC$ tem lados $a$, $b$e $c$, e circunradius $R$. Provar que$$ac \cos B + ab \cos C - bc \cos A - a^2 \le \frac{c^2}{8\cos^2(90^\circ - C)}$$ Quando ocorre a igualdade?

Eu me deparei com essa questão em um fórum diferente e achei interessante. Fiz um pouco de progresso, mas não muito: mudei$R^2$para a fração na desigualdade. Acho que provavelmente há outro uso da Lei dos Senos ou Lei dos Cossenos, mas não consigo encontrar nenhum.

Edit: Muitas pessoas têm dúvidas sobre se o problema está certo; aqui está o problema original:

Triângulo $\triangle ABC$ tem lados $a$, $b$e $c$, e circunradius $R$. Provar que$b^2 + c^2 - a^2 \ge -R^2$ Quando ocorre a igualdade?

Answer 1

Id est, pela lei dos cossenos, precisamos provar que: $$\frac{a^2+c^2-b^2}{2}+\frac{a^2+b^2-c^2}{2}-\frac{b^2+c^2-a^2}{2}-a^2\leq\frac{c^2}{8\left(\frac{2S}{ab}\right)^2},$$ Onde $S=\frac{1}{4}\sqrt{\sum\limits_{cyc}(2a^2b^2-a^4)}$.

Portanto, precisamos provar que $$b^2+c^2-a^2+\frac{a^2b^2c^2}{\sum\limits_{cyc}(2a^2b^2-a^4)}\geq0.$$ Agora deixe $a=y+z$, $b=x+z$ e $c=x+y$.

Portanto, $x$, $y$ e $z$ são positivos e precisamos provar que: $$2(x^2+xy+xz-yz)+\frac{\prod\limits_{cyc}(x+y)^2}{16xyz(x+y+z)}$$ ou $$(y^2+34yz+z^2)x^4+2(y^3+35yz+35y^2z^2+z^4)x^3+$$ $$+(y^4+38y^3z+42y^2z^2+38yz^3+z^4)x^2+$$ $$+2yz(y^3-13y^2z-13yz^2+z^3)x+y^2z^2(y+z)^2\geq0.$$ Agora deixe $x^4=t\cdot\frac{y^2z^2(y^2+10yz+z^2)}{12}.$

Assim, desde $$y^2+34yz+z^2\geq36\sqrt[3]{\frac{y^2z^2(y^2+10yz+z^2)}{12}},$$ $$2(y^3+35y^2z+35yz^2+z^3)\geq144\sqrt{\frac{y^2z^2(y^2+10yz+z^2)}{12}},$$ $$y^4+38y^3z+42y^2z^2+38yz^3+z^4\geq120\sqrt[3]{\left(\frac{y^2z^2(y^2+10yz+z^2)}{12}\right)^2},$$ $$2yz(y^3-13y^2z-13yz^2+z^3)\geq-48\sqrt[6]{\left(\frac{y^2z^2(y^2+10yz+z^2)}{12}\right)^5}$$ e $$y^2z^2(y+z)^2\geq4\cdot\frac{y^2z^2(y^2+10yz+z^2)}{12},$$ é o suficiente para provar que: $$36t^4+144t^3+120t^2-48t+4\geq0$$ ou $$(3t^2+6t-1)^2\geq0$$ e terminamos!

A igualdade ocorre para $t=\frac{2}{\sqrt3}-1$ e, por exemplo, para $y=z=1$, que dá $x=\frac{2}{\sqrt3}-1$ e temos um triângulo com ângulos medidos $30^{\circ}$, $30^{\circ}$ e $120^{\circ}.$

Answer 2

Resposta à segunda questão (igualdade).

Triângulo $ABC$ tem lados $a$, $b$e $c$, ângulos correspondentes $\alpha,\beta,\gamma$, semiperímetro $\rho$, inradius $r$ e circunradius $R$. Provar que\begin{align} R^2-a^2+b^2+c^2\ge0\tag{1}\label{1}. \end{align} Quando ocorre a igualdade?

Dividindo \ eqref {1} por $R^2$, temos

\begin{align} 1-4\sin^2\alpha+4\sin^2\beta+4\sin^2\gamma&\ge0 \tag{2}\label{2} . \end{align}

É fácil verificar que \ eqref {2} se torna uma igualdade para $\alpha=120^\circ,\beta=\gamma=30^\circ$. Em outras palavras, \ eqref {1} torna-se uma igualdade para um triângulo isósceles com$\alpha=120^\circ$.