Parâmetros de uma distribuição beta

Question

Encontrei aqui uma pergunta sobre os parâmetros negativos de uma distribuição beta. Abaixo está o link para essa pergunta: Parâmetros negativos da distribuição beta

Há um comentário onde o $A$ parâmetro = $\frac{m(m−2m^2+m^3−v+mv)}{(m−1)v}$ , e as $B$ parâmetro = $\frac{m−2m^2+m^3−v+mv}{v}$

Posso perguntar como chegar a essa equação ou pelo menos uma referência a isso? Tentei expor os parâmetros aeb encontrados na Wikipedia, mas cheguei a uma resposta ligeiramente diferente em comparação com o referido comentário (um parâmetro na Wikipedia deve ser multiplicado por -1 para chegar à mesma resposta).

Muito obrigado por sua ajuda.

Answer 1

Isso pode ser trapaça, mas você pode deixar Wolfram Alpha resolver as equações para você.

De acordo com Wolfram Alpha, a resposta não trivial é \begin{align*} \alpha &= \frac{m}{v}\big(-m^2 + m - v\big) \\ \beta &=\frac{1}{v}\big(m^3 - 2 m^2 + mv + m - v\big) \end{align*} assumindo $m \neq 0$, $v \neq 0$ e $m^3 - 2m^2 + m v + m - v\neq0$.

Aqui está o que as equações produzem em uma grade equidistante em $[0,1]^2$ para $(m,v)$:

A equação para a variação pode ser escrita de forma mais compacta como $$ \beta = \frac{(1-m)[m(1-m)-v]}{v} = \frac{(1-m)}{m}\alpha. $$

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Podemos perguntar quais combinações $(m,v) \in [0,1]^2$levar a parâmetros válidos para a distribuição Beta. Para isso, precisamos ter$\alpha$ e $\beta > 0$. Ambas as condições são satisfeitas se e somente se\begin{align*} v < m(1-m) \end{align*} mostrando que esta é a única condição necessária, além de $m \in (0,1)$.