Pergunta sobre instanciação existencial
Eu estava tendo problemas para entender a instanciação existencial. Meu livro (Rosen - Discrete Mathematics and its Applications) afirma o seguinte sobre a instanciação existencial:
A instanciação existencial é a regra que nos permite concluir que existe um elemento c no domínio para o qual P (c) é verdadeiro se sabemos que ∃xP (x) é verdadeiro. Não podemos selecionar um valor arbitrário de c aqui, mas deve ser ac para o qual P (c) é verdadeiro. Normalmente não temos conhecimento do que é c, apenas que existe. Por existir, podemos dar-lhe um nome (c) e continuar nosso argumento.
Isso faz sentido para mim para certas declarações existenciais.
Por exemplo, considere a declaração $\exists x\in \mathbb{Z}$ $(x + 1 = 2)$. Existe apenas um inteiro que torna a função proposicional ($x + 1 = 2$) verdadeiro (ou seja, $1$) Portanto, faz sentido para mim que um novo símbolo$c$ pode ser criado para nomear "o único inteiro que faz $x + 1 = 2$ verdade".
No entanto, considere a declaração $\exists x\in \mathbb{Z}$ $(x * 0 = 0)$. Existem muitos inteiros que fazem a função proposicional ($x * 0 = 0$) verdadeiro (ex. $1$, $2$, $3$)
Neste caso, quando criamos um novo símbolo $c$, este símbolo está nomeando "um dos inteiros que fazem $x * 0 = 0$ verdadeiro "? Acho isso um pouco ambíguo, então queria saber se estava entendendo o significado deste símbolo corretamente.
Por favor, esclareça e obrigado pelo seu tempo.
Respostas
No entanto, considere a declaração $\exists x\in \mathbb{Z}$ $(x * 0 = 0)$. Existem muitos inteiros que fazem a função proposicional ($x * 0 = 0$) verdadeiro (ex. $1$, $2$, $3$)
Neste caso, quando criamos um novo símbolo $c$, este símbolo está nomeando "um dos inteiros que fazem $x * 0 = 0$ verdade"?
Sim, é exatamente isso. Então .. embora o uso de$c$sugere que sabemos exatamente de qual objeto estamos falando, esse não é o caso. Ainda sabemos apenas que existe pelo menos um objeto que satisfaz a fórmula em questão. Mas, para fazer nosso raciocínio adicional, precisamos ser capazes de falar sobre 'um desses objetos' e, para isso, este sistema usa uma constante individual .... embora você naturalmente precise ter certeza de que essa constante não foi usado em outra parte da prova para se referir a algum outro objeto.
Observe que existem outros sistemas de prova formal que não usam $c$ neste caso, mas mantenha a variável uma variável, o que tem a vantagem de sugerir que você realmente não sabe de qual objeto específico está falando ... mas a desvantagem é que agora você obtém linhas na prova que, quando tomada fora do contexto do resto da prova, teria uma variável livre ... e isso é de fato uma desvantagem o suficiente para algumas pessoas usarem constantes.
Às vezes, pensei que talvez uma maneira de lidar com tudo isso é ter um terceiro conjunto de maneiras de apontar para objetos diferentes de constantes e variáveis: símbolos que você usaria de fato para esta instanciação existencial, e que denotam 'algum objeto com alguma propriedade, embora não saibamos qual ', isto é, não completamente arbitrária (como uma variável normal), mas também não específica (como uma constante). Eu nunca prometi sistemas formais para fazer algo assim.