Pode um modelo padrão de $\sf ZFC$ contém todos os ordinais sem ser transitivos?

Aug 18 2020

Por um modelo padrão de ZFC quero dizer um modelo de ZFC que pode ser um conjunto ou classe própria e cuja relação elementar é a verdadeira relação elementar. Um modelo transitivo de ZFC é um modelo padrão de ZFC que também é uma classe transitiva. Pelo lema do colapso de Mostowski, cada modelo padrão de ZFC é isomórfico, por meio de um isomorfismo único, a um modelo transitivo único de ZFC. Minha pergunta é: será que podemos sempre "desfazer" um modelo transitivo de ZFC para um modelo padrão, mas não transitivo, de ZFC? Por exemplo, existe um modelo padrão não transitivo de ZFC isomórfico ao modelo interno mínimo$L$? E também, há um modelo padrão não transitivo de ZFC contendo todos os ordinais que é isomórfico ao modelo interno mínimo$L$?

Edit: Dados os comentários úteis feitos (a resposta às duas primeiras perguntas é sim), a única pergunta que resta é a última: Há um modelo padrão não transitivo de ZFC contendo todos os ordinais que são isomórficos ao mínimo interno modelo $L$? Se não então$L$não é apenas o modelo interno mínimo, é o modelo padrão mínimo contendo todos os ordinais. De forma mais geral, existe um modelo padrão não transitivo de ZFC contendo todos os ordinais?

Respostas

1 AsafKaragila Sep 12 2020 at 16:56

Excluí minha resposta anterior por estar errada, conforme apontado por Rodrigo Freire nos comentários.

Na verdade, é possível ter um modelo não transitivo cujos ordinais são um segmento inicial dos ordinais. Diz isso$M$ é um modelo transitivo tal que $M\neq V_\alpha$ para qualquer $\alpha\in\rm Ord\cup\{Ord\}$ (Onde $V_{\rm Ord}$é apenas todo o universo). Então há um menor$\alpha$ tal $\alpha\in M$ e $\mathcal P(\alpha)^M\neq\mathcal P(\alpha)$.

Definir $N$ para ser o modelo obtido pela substituição recursiva $\mathcal P(\alpha)^M$ de $\mathcal P(\alpha)$, ou mesmo apenas adicionando um novo conjunto a esta coleção. Então$N$ é um modelo padrão, seus ordinais são um segmento inicial dos ordinais, mas não é transitivo.

Se pegarmos $M=L$ e $V\neq L$, então podemos, é claro, obter um modelo de $V=L$ que não é $L$.

1 RodrigoFreire Sep 12 2020 at 19:26

Asaf Karagila respondeu à pergunta, mas tenho pensado em resultados parciais para a minimalidade de $L$ na direção de sua resposta anterior, conforme perguntado por Jesse Elliot em seu parágrafo final.

Em primeiro lugar, desculpe-me por dizer que acho que a teoria dos conjuntos não usou modelos padrão (no sentido desta questão) porque eles são modelos isomórficos a transitivos. Então, não estamos muito acostumados com eles. No entanto, na verdade, é fácil "desfazer" um modelo transitivo$M$: pegue um elemento $a\in M$ e substituí-lo em todos os lugares transitivamente por $a\cup \left\{a\right\}$. E se$a$ não é um ordinal, então o modelo padrão resultante irá compartilhar os ordinais de $M$.

Agora, em uma direção mais positiva, vamos investigar um resultado de minimalidade parcial para $L$:

-Deixei $M\subseteq L$ser um modelo padrão de forma que seus ordinais sejam os ordinais reais. Então$M=L$ se a ordem construtível $Od$ (ver Shoenfield, ML, página 272) é absoluto para $L^M$.

prova: primeiro aviso que$L^M=\left\{x\in M : (x\in L)^M\right\}$é um modelo padrão cujos ordinais são os ordinais reais. E se$L^M$ fossem transitivos, então incluiria $L$, conseqüentemente $M$ seria igual a $L$. Então, vamos supor que$L^M$ não é transitivo.

Deixei $K$ seja o colapso transitivo de $L^M$. A imagem de$K$ é um modelo transitivo de $ZF$ contendo todos os ordinais e contidos em $L$, então é $L$. Deixei$x$ ser um contra-exemplo mínimo para a transitividade de $L^M$. Então$K(x)\neq x$, então $Od(K(x))\neq Od(x)$ (lembre-se disso $M\subseteq L$, conseqüentemente $Od$ é definido para todos os elementos de $M$e é injetivo). Desde a$K$ é um isomorfismo de $L^M$ para $L$, $K(Od^{L^M}(x))=Od(K(x))$. Da hipótese do absoluto,$Od^{L^M}(x)=Od(x)$.