Por que essa derivação do sinal de saída do circuito de disparo de Schmitt está incorreta?
Este é o circuito de disparo Schmitt de referência. Usando KVL, \$V_x\$acabou por ser \$\frac{R_1}{R_1+R_2}V_o\$. Além disso,
$$V_o = A\left( V_x - V_i\right)$$ $$V_o = A\left( \frac{R_1}{R_1+R_2}V_o - V_i\right)$$ $$\left( \frac{R_1}{R_1+R_2} - {1\over A}\right)V_o = V_i$$ $$V_o = \frac{V_i}{\left( \frac{R_1}{R_1+R_2} - {1\over A}\right)}$$
Como A é um número muito grande, \$\frac{1}{A} \to 0\$
$$V_o = \frac{V_i}{\left( \frac{R_1}{R_1+R_2}\right)} = \frac{R_1+R_2}{R_1}V_i$$
If \$R_1=R_2=1k\Omega, A=2\times 10^5, V_i=2\sin\left( \omega t\right) V, V_{cc}=3V\text{ and }V_{EE}=3V\$, então o gráfico ficaria assim (de acordo com a formulação acima),
Uma representação aproximada dos sinais de entrada e saída
Na realidade, o sinal de saída é completamente diferente. Eu sei como funciona o OP-Amp com feedback positivo. Mas estou apenas curioso para saber por que a derivação acima está incorreta. Particularmente em qual etapa.
Respostas
Ponto 1
O gatilho Schmitt tem histerese. A histerese implica que o circuito tem memória . Ele se lembra do último estado. Para um sistema com memória, você não pode escrever \$V_o = f(V_{in})\$. Deve ter o formato \$V_o = f(V_{in}, V_{o, \text{prev}})\$ou algo equivalente. Como indica um dos comentários mencionados a seguir na pergunta, não se saberá que o sistema tem memória na primeira vez que tentar resolver o circuito por meio de equações. IMHO, Nesse caso, a seção a seguir protegeria contra uma conclusão errada.
Ponto 2
A tensão de saída sendo capaz de saturar também é um recurso importante, pois evita \$V_o\$e \$V_x\$reforçando um ao outro até o infinito. Suas equações não modelam a não linearidade da saturação.
Sua segunda equação teria sido melhor escrita como
\$ V_o = \min(\max(A(f(V_o) - V_{in}), -V_{max}), V_{max}) \$
Com este andaime para representar a não linearidade, toda simplificação posterior tentada na questão teria sido evitada.
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Em resposta à pergunta da OP abaixo nos comentários.
Vamos analisar o caso em que \$V_{in} = 0\$. A segunda equação de OP simplifica para
\$V_o = A(\frac{R_1}{R_1+R_2}V_o - 0)\$.
Negligenciando a saturação, e para \$A\frac{R_1}{R_1+R_2} > 1\$, a solução para este sistema é
\$V_o = 0\$ou \$V_o = \infty\$(desde \$0 = A\frac{R_1}{R_1+R_2} \cdot 0\$e \$\infty = A\frac{R_1}{R_1+R_2} \cdot \infty\$)
Isso significa que, se a saída opamp for forçada a 0 e não houver ruído (ou qualquer outra imperfeição) no sistema, a saída permanecerá lá (a forma de onda do OP também mostra saída de zero volt para entrada de zero volt).
Em um circuito prático, a saída será deslocada de 0 volts por ruído. Portanto, a questão é: o sistema permanecerá lá? O sistema voltará para zero volt ou \$\infty\$volts? A dinâmica (evolução do tempo) do sistema não é modelada pelas equações de OP, portanto, não podemos responder a esta questão nos mantendo nas equações algébricas onde o tempo não é modelado. Se o tempo também fosse modelado, acho que poderíamos ter concluído que o ponto de equilíbrio de 0 volt é instável e o \$\infty\$equilíbrio de volt (ou \$V_{max}\$) é estável e o sistema tende a se mover para uma situação de saída extrema.
Em suma, usando a equação algébrica acima, não podemos analisar este circuito quando a saída não está tocando os valores de saturação ( \$-V_{max} < V_o < V_{max}\$), uma vez que um sistema prático terá tendência a se deslocar em direção aos pontos de saturação e não se apoiar exatamente na solução da equação algébrica acima.
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Em resposta aos comentários abaixo, que pedem para esquecer as coisas de histerese. Estou tentando construir um exemplo sem histerese
Deixe-me tentar fazer uma observação com uma analogia em que existe uma solução algébrica, mas a saída é ilimitada. Este sistema análogo também tem feedback positivo. Ele também tem um produto finito previsto pela equação. Mas a saída é ilimitada.
A relação saída-entrada é dada por
\$ \begin{align} \frac{dy(t)}{dt} ={}& x(t) \color{red}{+} y(t)\\ (s-1)Y(s) ={}& X(s)\\ \frac{Y(s)}{X(s)} ={}& \frac{1}{s-1} \end{align} \$
Para qualquer sinal sinusóide de amplitude finita (incluindo frequência 0), a saída prevista pela função de transferência é finita. Mas o sistema terá uma saída ilimitada. O ganho deste sistema em função da frequência é o mesmo do sistema \$\frac{1}{s+1}\$. Acho que este exemplo forma um bom paralelo com o seu exemplo. Nenhuma histerese ou saturação foi usada neste exemplo.
Você presumiu que há uma saída estável e calculou qual deveria ser a saída caso a suposição estivesse certa. Além disso, você reduziu o resultado à possível faixa de tensão de saída. O recorte está ok, mas a suposição da existência de saída estável não, como pessoas que conhecem a teoria da estabilidade de feedback podem confirmar (ver NOTA 1)
As pessoas fazem o mesmo tipo de raciocínio continuamente. Na verdade, toda a física é baseada nesse tipo de raciocínio. A comparação com as medições é a maneira de revelar suposições erradas.
NOTA 1: não há necessidade de ser um matemático ou engenheiro de nível acadêmico para ser capaz de deixar claro que uma saída estável pode ser alcançada apenas porque a faixa de tensão limitada corta a saída. Alguma análise elementar do domínio de Laplace é suficiente.
Se assumirmos que há alguma lentidão realista no amplificador, digamos, um RC carregando e o ganho é finito, talvez grande, mas finito, podemos encontrar a função de transferência para todo o circuito. A lentidão evita mudanças infinitamente rápidas para que possamos acompanhar o que o circuito faz.
Podemos substituir a amplificação ideal A com G / (1 + sRC) que é a função de transferência do integrador RC com buffer. G é o ganho DC do amplificador.
Vamos também simplificar a fórmula substituindo R1 / (R1 + R2) por um único símbolo B. É nosso fator de atenuação de feedback que está entre 0 e 1.
O ganho de domínio s do sistema é Vo / Vi = 1 / (B- (1 + sRC) / G)
É claro que a saída permanece zero se a entrada for zero e não houver ruído. Mas sempre há algum barulho. Podemos descobrir quais frequências no domínio s começam a tocar no sistema a partir do menor pulso de ruído, calculando quais valores de s tornam o denominador infinito (= encontre os pólos da função de transferência). Resolvemos s da equação (B- (1 + sRC) / G) = 0
O resultado é s = (GB-1) / RC
A matemática da transformação de Laplace diz que a saída de um menor pulso de ruído é proporcional a uma tensão exponencial exp (t / T) com constante de tempo T = RC / (GB-1). Este T é positivo assim que GB é maior do que 1. Constante de tempo positiva significa crescimento ilimitado que na prática é interrompido apenas pela faixa de tensão de saída limitada. T negativo (ou seja, GB <1) significa que o toque no loop diminui e a saída se estabiliza no valor que pode ser calculado com sua fórmula original para Vo. Mas, para uma saída estável, A deve ser menor do que a atenuação do divisor de tensão de feedback.
Por que ele se parece com uma onda senoidal cortada amplificada para o comparador Hysteric usando um Amp Op?
Os limites de GBW em Op Amps tornam-se comparadores de alta velocidade ruins, uma vez que em malha aberta eles são apenas integradores com um ponto de interrupção LPF próximo a 10 Hz ou mais.
O tempo de subida é normalmente limitado pela corrente de saída na carga padrão de 30pF. Mas, neste caso, o tempo de subida é limitado pelo limite de compensação interno. então
Se o ganho DC for Av = 2e5 e GBW = 4e5, então o ganho AC será apenas.
Av (f) <~ 2 estimado por suas ondas
Portanto, o tempo de subida, Tr é medido por 10 ~ 90% ef pelo ponto de -3dB, então f = 0,35 Você obtém Tr = 0,35 / f @ -3dB
Assim como sua saída.
Toda a histerese está correta.
Enquanto isso, o feedback positivo funciona conforme o esperado.
Sugestão
use uma porta lógica ou comparador de coletor aberto com 1k pullup e Rf = 100k E Rin é a razão se histerese. Então espere tempos de queda rápidos, mas subida lenta com cargas xx pF.
use um gatilho CMOS Schmitt projetado para 1/3 de histerese
Circuito com histerese
Em primeiro lugar, comentarei sobre as propriedades de memória deste circuito com histerese. Sim, ele tem memória ... e pode funcionar como um gatilho Schmitt e uma trava RS .
Gatilho Schmitt. Nessas aplicações, a tensão de entrada varia suavemente em ambas as direções. O circuito se comporta como uma trava forçada pela tensão de entrada a permanecer em um de seus dois estados. Aproveitamos as transições bruscas e a histerese para reduzir várias interferências.
Robusto. Nessas aplicações, alternamos o circuito com histerese em um estado ou outro por pulsos bipolares (mudando por um momento a tensão de entrada acima / abaixo do limite positivo / negativo e, em seguida, retornando a zero). A tensão de entrada tem três níveis: Vin> + Vth (R), Vin <-Vth (S) e Vin = 0 (neutro). Para fazer com que essa trava se comporte novamente como um gatilho, não volte a zero. Esta ideia pode ser implementada conectando a entrada inversora através de um resistor ao terra. A trava pode ser alternada tocando por um momento a entrada para VCC ou -VEE.
De um modo mais geral, podemos controlar um circuito com histerese de duas maneiras diferentes - alterando o sinal de entrada do loop de histerese "sem retornar" (gatilho Schmitt) e "com o retorno" (trava) dentro do loop (geralmente, em o meio).
Trava RS
Então, vamos ver se podemos converter uma trava em um gatilho Schmitt.
Trava RS com portas lógicas de 2 entradas. O problema desta implementação está em suas entradas unilaterais . A tensão de saída do feedback positivo e a tensão de entrada são conectadas por uma função lógica (NAND ou NOR), mas não por uma função aritmética (soma) como no caso do gatilho Schmitt. É por isso que, uma vez que alternamos a trava por meio de algumas de suas entradas, não podemos alterná-la de volta pela mesma entrada (ela perdeu sua função de controle); podemos fazer isso por outra entrada.
Trava RS com portas lógicas de 1 entrada. Esse problema não existe se a trava for implementada por portas de 1 entrada (inversores), uma vez que elas têm entradas de 2 vias . Um exemplo típico é a célula RAM cujas entradas / saídas podem ser controladas em ambas as direções.
Como conclusão, parece que podemos falar sobre o uso de histerese apenas em dispositivos com uma entrada (gatilho Schmitt ou um latch de 1 entrada).