Por que não há campo com um elemento? [duplicado]

Question

Isso foi perguntado aqui, mas marcado como respondido e não sinto que a pergunta tenha sido respondida ou, pelo menos, não foi clara para mim.

Eu não entendo porque o conjunto consiste apenas no elemento $\{0\}$ junto com o usual $+$ e $×$ não satisfaz os critérios, uma vez que $0$ atua como identidade aditiva e multiplicativa.

Ou seja, deixando $G = \{0\}$, então

• $∀ g ∈ G, 0+g = g$ e

• $∀ g ∈ G, 0·g = g$ (Desde a $0·0 = 0$ )

Da mesma forma, é seu próprio inverso aditivo e multiplicativo. Qual é o problema apenas no nível do campo, sem desejar que ele satisfaça algumas propriedades adicionais para a teoria das categorias ou geometria algébrica / aritmética?

Answer 1

Então, vamos revisar: $(F,+,\cdot,0,1)$ é um campo se

• $(F,+,0)$ é um grupo abeliano
• $(F \setminus \{0\}, \cdot, 1)$ é um grupo abeliano

O que acontece se $0 = 1$ e $F$o singleton contém esse elemento? Então, a última característica não é satisfeita, pois$F \setminus \{ 0 \} = \varnothing$no entanto, todos os grupos não estão vazios por suposição. (Ou seja, os axiomas de grupo implicam a existência de um elemento nele, o elemento de identidade, portanto, um grupo é sempre não vazio.)

Answer 2

Deixei $K := \{0\}$. Então$K \setminus \{0\}$ não pode ser um grupo multiplicativo, uma vez que não há nenhum elemento de identidade contido nele.