Por que não substituir muito grande $n$ para dentro $(1+1/n)^n$ dar valores próximos ao número de Euler $e$?

Question

Eu gostaria de perguntar qual é o número de Euler $e$? Eu não entendo.

O que eu sei:

• $e$ é $\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n$ Como $n$ atinge o infinito

• $e$ é $2.718281828\ldots$

Questão:

Se eu inserir $n = 1\ 000\ 000\ 000\ 000$, Eu recebo $2.718523496\ldots$, que é maior do que $2.718281828\ldots$.

Se eu continuar e inserir $n = 1\ 000\ 000\ 000\ 000\ 000$, Eu recebo $3.035035207\ldots$ que é muito mais alto do que $2.718281828\ldots$.

Acho que perdi algo ou cometi um erro.

Eu entendi mal a fórmula? É a fórmula e o$2.718281828$ acima apenas uma aproximação?

Eu realmente apreciaria qualquer explicação, esclarecimento e correções. :)

Muito obrigado pelo seu tempo!

Answer 1

Aqui está uma análise de erro. E se$$a_n=\left(1+\frac1n\right)^n$$ então $$\ln a_n=n\ln\left(1+\frac1n\right)=n\left(\frac1n-\frac1{2n^2}+\frac1{3n^3}-\cdots\right)=1-\frac1{2n}+\frac1{3n^2}-\cdots.$$ Para grande $n$, $\ln a_n$ está muito perto de $$1-\frac1{2n}$$ e entao $a_n$ é perto de $$e\exp(-1/(2n))=e\left(1-\frac1{2n}+\frac1{8n^2}-\cdots\right).$$ Na verdade o $1/(8n^2)$ termo aqui é espúrio porque eu negligenciei o $1/(3n^2)$ termo na expansão de $\ln a_n$. Mas uma estimativa grosseira de$a_n$ é aquele $$a_n\approx e-\frac{e}{2n}.$$ O erro é um pouco pior do que $1/n$.

Levando $n=10^{12}$ diga, você consegue $11$ para $12$casas decimais corretas. O erro que você obtém com a calculadora é, sem dúvida, devido à falta de precisão de sua representação de números de ponto flutuante. Provavelmente underflow .

Answer 2

A matemática de ponto flutuante em um computador não é a mesma coisa que a computação matemática real. Quando usávamos$32$ bit flutua, o que só deu $23$ pedaços de mantissa, sobre $7.2$dígitos decimais, era um problema com o qual todos se preocupavam e grandes seções dos cursos de análise numérica se concentravam em evitar os problemas de precisão numérica. Agora que flutuadores são$64$ bits com $53$bits de mantissa o problema foi bastante reduzido, mas ainda pode ter um problema. Quando você aumenta para uma potência muito pequena, você pode pensar sobre$(1+\frac 1n)^n=e^{(\log(1+\frac 1n)n)}$ e expandir $\log(1+\frac 1n)$ em uma série de Taylor.