Por que os reais com a operação $x \bullet y = \sqrt[3]{x^3 + y^3}$ é um grupo?
A operação acima é um grupo para os números reais, já que 0 é o elemento identidade, e o negativo de qualquer número real é o seu inverso, como pode ser observado de maneira trivial. A associatividade é menos trivial, mas se mantém.
Na verdade, se substituirmos 3 por qualquer número ímpar (5, 7 ...), a operação satisfaz as propriedades do grupo. No entanto, qualquer número par falha.
Existe alguma interpretação geométrica / analítica / ... de porque uma operação como $x \bullet y = \sqrt[3]{x^3 + y^3}$ é associativa e, por consequência, dá aos reais a estrutura de um grupo?
Respostas
Deixei $G$ seja qualquer grupo, $X$ ser qualquer conjunto, e $f: X \rightarrow G$ser qualquer bijeção. Então, podemos transferir a estrutura do grupo de$G$ para $X$ definindo $x \cdot y = f^{-1}(f(x) \cdot f(y))$. Ou seja, usamos a bijeção$f$ para identificar elementos de $G$ e elementos de $X$, e colocar uma estrutura de grupo em $X$usando esta identificação. Vou deixar como um exercício que realmente define uma estrutura de grupo em$X$.
Agora pegue $G=(\mathbb R,+)$, $X=\mathbb R$ e $f(x)=x^3$ para recuperar o seu caso.
E se $f$ é qualquer bijeção ímpar de reais, então a operação
$$x\cdot y=f^{-1}(f(x)+f(y))$$
faz dos reais um grupo e $f$um isomorfismo do grupo aditivo dos reais a esse grupo. No seu caso$f(x)=x^3$. A associatividade decorre do fato de que$f$ é um homomorfismo. $0$ é o elemento neutro e $-x$ é o inverso de $x$. Aqui está o fato de que$f$ é estranho é usado.
Para uma bijeção arbitrária$f\colon \mathbf R \to \mathbf R$, a operação $x*y = f^{-1}(f(x) + f(y))$ é uma lei de grupo sobre $\mathbf R$. Tudo isso diz que se você renomear cada número real$x$ Como $f(x)$ então você pode converter a lei de grupo original $+$ em uma lei de grupo $*$ de modo a $f$ é um isomorfismo de $(\mathbf R, *)$ para $(\mathbf R,+)$. A intuição é algébrica, não geométrica. Não há nada mágico sobre$n$th raízes para estranho $n$ além de ser uma bijeção.
A função tangente hiperbólica $\tanh \colon \mathbf R \to (-1,1)$ é uma bijeção que permite transportar adição em $\mathbf R$ a uma lei de grupo sobre $(-1,1)$que é usado na relatividade especial (adição de velocidades no movimento unidimensional). O inverso dessa bijeção, até um fator de escala, é chamado de “rapidez” em física.
Resposta curta: porque $\sqrt{x^2}\ne x$ para $x<0$.
Resposta longa, na qual eu prefiro $\cdot$ para $\bullet$:
Uma operação satisfatória $(x\cdot y)^n=x^n+y^n$ fecha os reais, pois se $n$ é estranho, podemos pegar o $n$th root, & if $n$ é mesmo nós apenas tentamos pegar o $n$a raiz de algo $\ge0$. E desde$$((x\cdot y)\cdot z)^n=(x\cdot y)^n+z^n=x^n+y^n+z^n=(x\cdot(y\cdot z))^n,$$os associados da operação. (Cancelando o poder de$n$ é trivial, pois, mesmo que $n$ é mesmo, $\cdot$ é sempre definido para levar o não negativo $n$a raiz de qualquer maneira.) Portanto, no mínimo, formamos um semigrupo.
Desde a $x\cdot0=(x^n)^{1/n}$, para estranho $n$ nos tambem temos $0$ como uma identidade, mas para até $n$ nós não porque $x\cdot0=|x|$, então não é nem um monóide, muito menos um grupo . O último grupo de axiomas é inverso, que funciona para ímpar$n$ como você notou, mas mesmo $n$ temos $x\cdot y\ge|x|$, então também não temos inversos.
Dica :
A associatividade simplesmente resulta do fato de que ambos $\;(x\bullet y)\bullet z$ e $\;x\bullet( y \bullet z)$ são iguais a $$\sqrt[\substack{\,\scriptstyle3\\}]{x^3 +y^3+z^3}.$$