porque é$x(t)$não periódica, mas$x[n]$é?

Question

Estive estudando sinais e sistemas e me deparei com esse problema.

Por definição,$x(t)$denota sinal de tempo contínuo e$x[n]$denota sinal de tempo discreto.

$x(t)$é periódica se existe uma constante$T>0$de tal modo que$x(t) = x(t+T)$para todos$t$é um subconjunto dos números reais.

$x[n]$é periódica se existe uma constante$N>0$de tal modo que$x[n] = x[n+N]$para todos$n$é um subconjunto de números inteiros.

Então me deparei com esta pergunta: Por que$x(t)$aperiódico?

$x(t) = \cos((\pi t^2)/8)$

Os trabalhos que fiz são os seguintes:

$x(t+T) = \cos((\pi(t+T)^2)/8$

Presumir$x(t) = x(t+T)$

ou seja$(\pi t^2)/8 + 2\pi k = (\pi(t+T)^2)/8$

$\Rightarrow t^2 + 16k = (t+T)^2 \Rightarrow 16k = T^2 + 2tT $

Considerando$k$é um número inteiro, não é periódico? Por favor, deixe-me saber se o meu cálculo está errado.

Peço desculpas se estou postando um tópico irrelevante e obrigado pelo seu feedback.

Answer 1

Você mostrou*:

Se$x(t)$é periódico, então há algum$T>0$de tal modo que$\dfrac{T^2+2tT}{16}$é um número inteiro para cada real$t$.

*Edit: Conforme apontado por @SHW nos comentários, isso não é bem verdade. Em vez disso, deveria ser

$x(t)$é periódica se e somente se houver algum$T > 0$tal que pelo menos um dos$\dfrac{T^2+2tT}{16}$ou$\dfrac{T^2+2tT + 2t^2}{16}$é um número inteiro para cada real$t.$

Desde$T \neq 0$, deve ser bastante aparente que haverá algum$t$tal que nenhuma dessas expressões produz um número inteiro, mostrando que$x(t)$não é periódico.

Para prová-lo, observe que, para cada inteiro$k$, existe um único real$t$de tal modo que$\dfrac{T^2+2tT}{16} = k$e no máximo dois números reais$t$de tal modo que$\dfrac{T^2+2tT + 2t^2}{16} = k.$Como existem muitos números inteiros contáveis, existem muitos números contáveis$t$tal que pelo menos um dos$\dfrac{T^2+2tT}{16}$ou$\dfrac{T^2+2tT+2t^2}{16}$é um número inteiro. Como existem incontáveis ​​números reais, deve haver algum real$t$tal que nenhuma expressão produz um número inteiro.

Como mencionei acima, isso mostra$x(t)$não é periódico.

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Por outro lado, poderíamos definir, por exemplo,$T=8$para ver isso$\dfrac{T^2+2tT}{16}$é um inteiro sempre que$t$é um número inteiro, mostrando$x[n]$é periódico.

Answer 2

Deixar$x(t) = \cos(\frac{\pi t^2}{8})$. Se$x(t)$é periódico com$T$então existe$T \gt 0$de tal modo que$x(t) = x(t+T)$para todos$t \in \mathbb{R}$. Então neste caso temos$$\cos(\frac{\pi (t+T)^2}{8}) = \cos(\frac{\pi t^2}{8})$$Se$t = 0$então$\cos(\frac{\pi T^2}{8}) = 1$. Derivando ambos os lados e deixe$t = 0$temos$$ T\sin(\frac{\pi T^2}{8}) = 0$$Isso significa$T = 0$ou$\sin(\frac{\pi T^2}{8}) = 0$. O primeiro caso não é permitido, então concluímos que$\sin(\frac{\pi T^2}{8}) = 0$. Se derivarmos duas vezes e novamente deixar$t = 0$então$$-\frac{\pi}{16} (4 \sin(\frac{\pi T^2}{8}) + \pi T^2 \cos(\frac{\pi T^2}{8})) = 0$$A combinação dos resultados leva à$T = 0$o que não é permitido de acordo com$T \gt 0$. A motivação para usar a diferenciação aqui é que$\frac{d}{dt}\cos(u(t)) = -u'(t)\sin(u(t))$que nos ajuda a obter$T$Fora de$\cos$função e chega a uma contradição. Claro, a resposta de Brian é muito mais elegante e não requer cálculos de derivadas.