Problema de Folland Question 6.4 com estimativa de norma

Question

A pergunta é a seguinte:

Se$1\leq p<r\leq \infty$, prove que$L^p+L^r$é um espaço de Banach com norma$\lVert f\rVert= \inf\{\lVert g\rVert_p+\lVert h\rVert_r\,|\, f=g+h\in L^p+L^r\}$, e prove que para$p<q<r$, o mapa de inclusão$L^q\to L^p+L^r$é contínuo.

Então, eu consegui provar$\lVert \cdot\rVert$realmente é uma norma, e que o resultado é um espaço de Banach com a norma dada, mas estou tendo problemas com a parte de continuidade. Dado$f\in L^q$, considerei o conjunto$A=\{x\in X\, | \, |f(x)|>1\}$, e as funções$f\cdot 1_A\in L^p$e$f\cdot 1_{A^c}\in L^r$(Já mostrei essas inclusões). O que estou tendo problemas é estimar as normas adequadamente. Eu descobri que (assumindo$r<\infty$)\begin{align} \lVert f\rVert \leq \lVert f\cdot 1_A\rVert_p + \lVert f\cdot 1_{A^c}\rVert_r \leq \lVert f\cdot 1_A \rVert_q^{q/p} + \lVert f\cdot 1_{A^c} \rVert_q^{q/r} \end{align}A partir daqui, não tenho certeza de como obter um limite superior do formulário$C\lVert f\rVert_q$, para alguma constante$C$. Observe que eu vi esta resposta , mas não tenho certeza de como surgem as últimas estimativas (particularmente, por que$|f\cdot 1_A|^p\leq |f\cdot 1_A|^q$implica$\lVert f\cdot 1_A\rVert_p\leq \lVert f\cdot 1_A\rVert_q$, e também para o$r$prazo). Qualquer ajuda é apreciada.

Answer 1

Você já está bem longe!

Lembre-se de que ~ para mostrar a continuidade de um mapa linear, você só precisa mostrar que ele é contínuo em$0$

Se você estimar$\lVert f\cdot 1_A \rVert_q^{q/p} + \lVert f\cdot 1_{A^c} \rVert_q^{q/r}$de$\lVert f \rVert_q^{q/p} + \lVert f\rVert_q^{q/r}$, então nós temos$$ \| f \|_{L^p+L^r} \to 0 \quad\text{for}\; \|f\|\to0. $$Assim, a inclusão é contínua em$0$e, portanto, contínua.