Problema sobre quase toda a convergência na teoria da medida

Dec 04 2020

Estou tendo problemas com o seguinte problema

Deixei $(X, \mathcal{F}, \mu)$ um espaço de medida onde $\mu (X)<\infty.$ Deixei $f,f_n:X \to \mathbb{C}$ser mensurável. Conjunto$A_n=\{ |f_n-f|\geq a_n\}$ Onde $a_n>0$ e $a_n \to 0$. Mostre que se$\sum_n \mu (A_n)<\infty,$ então $f_n\xrightarrow{a.e.} f.$

Tenho tentado muito esse problema. Por exemplo, tentei mostrar que$\mu (\{f_n \nrightarrow f\})<\varepsilon$ para todos $\varepsilon>0$ usando fatos como $\mu(A_n) \to 0$ (porque a série é convergente) e até mesmo assumindo que $(a_n)$poderia ser interpretado estritamente decrasando. Em minha tentativa de "aproximação", mostrei que cada$x \in \{f_n \nrightarrow f\}$ está contido em infinitamente muitos dos conjuntos $A_n$. Mas no final, não funcionou.

Em todas as tentativas que fiz, pensei "Estou muito perto da solução" ... mas algo falhou.

Você poderia me ajudar a resolver este problema?

Respostas

4 WhoKnowsWho Dec 04 2020 at 08:35

Primeiro observe que o conjunto onde $f_n$ não converge para $f$ é mensurável e pode ser escrito como $A:=\{f_n\not\to f\}=\bigcap_{k=1}^{\infty}\bigcup_{n\ge k}A_n.$

Agora observe que mostrando $f_n\to f$ quase todos os lugares é equivalente a mostrar que $A$ tem medida $0.$ Para fazer isso, primeiro observamos que $$\mu(A)\le \mu(\bigcup_{n\ge k}A_n)\le \sum_{n\ge k}A_n.$$

Desde a $\sum_{n=1}^{\infty}\mu(A_n)$ é finito, escolhendo $k$ grande, podemos fazer $\sum_{n=k}^{\infty}\mu(A_n)$arbitrariamente pequeno. Segue que$\mu(A)=0.$