Prova da Proposta 11.20 de Atiyah-Macdonald

Question

Eu me esforço para verificar a desigualdade de ordem dos pólos afirmada na prova da proposição 11.20. (A declaração completa e a prova da proposição podem ser encontradas aqui: Atiyah-Macdonald 11.20 e 11.21 )

Minha pergunta é: como provar essa desigualdade?

Encontro vários recursos online que abrangem vários assuntos com o livro, mas não encontro nada sobre este problema específico. Acho que seria benéfico que alguma referência a isso também fosse disponibilizada, visto que uma resposta perspicaz pode ser útil para qualquer pessoa que esteja tentando aprender o assunto com este livro.

Caso seja de interesse, baseei meus próprios esforços nas seguintes suposições adicionais:

1. $d((A/\mathfrak{q})[t_1,...,t_d]/(\bar{f}))$ deve se referir à ordem do pólo como o outro $d$ (o grau do polinômio característico) é definido apenas para anéis locais.
2. A estrutura graduada deste anel é $\bigoplus A_n/\bar{f}A_{n-s}$, Onde $\bigoplus A_n$ é a classificação padrão de $(A/\mathfrak{q})[t_1,...,t_d]$.

EDITAR: Acho que o problema não está claro o suficiente, a menos que um esteja bem aprofundado no livro, então vou fornecer um breve resumo dos resultados relevantes encontrados no Capítulo 11 até (11.20): Para um anel graduado Noetherian$A$ gerado como um $A_0$-álgebra por $s$ elementos homogêneos de grau 1, Teorema (11.1) afirma que a série de Poincaré $P(M,t) = \sum^\infty_{n=0}\lambda(M_n)t^n$ de qualquer classe finitamente gerada $A$-módulo $M$ tem um pólo de ordem $d(M)\leq s$ em $t=1$. Isso dá um limite superior para$d(A)$ ao tomar $M=A$. A desigualdade em (11.20), no entanto, introduz um limite inferior para$d((A/\mathfrak{q})[t_1,...,t_d]/(\bar{f}))$. Um limite inferior da ordem dos pólos ocorre anteriormente no texto apenas na forma de uma igualdade, ou seja, no caso muito especializado em que o anel graduado é o anel graduado associado$G_\mathfrak{q}(A)$ de um anel local noetheriano $A$wrt. a$\mathfrak{m}$-ideal primário $\mathfrak{q}$ [a ordem do pólo de $G_\mathfrak{q}(A)$ é neste caso igual a escuro $A$] Portanto, a dificuldade reside na falta de resultados para determinar os limites inferiores da ordem dos pólos.

Answer 1

Deixei $\bigoplus A_n$ ser a classificação padrão de $(A/\mathfrak{q})[t_1,\dots,t_d]$. O homomorfismo de anéis graduados$\bigoplus A_n \to \bigoplus A_n/\bar{f}A_{n-s}$ é sobrejetiva e tem núcleo $(\bar{f})$, conseqüentemente $\bigoplus A_n/\bar{f}A_{n-s}$ é uma classificação de $(A/\mathfrak{q})[t_1,\dots,t_d]/(\bar{f})$. $\alpha$ induz um mapa $\bigoplus A_n/\bar{f}A_{n-s} \to \bigoplus \mathfrak{q}^n/\mathfrak{q}^{n+1}$ Desde a $(\bar{f}) \subseteq \textrm{Ker}(\alpha)$, e assim obtemos os seguintes homomorfismos sobrejetivos de anéis graduados: $$ \bigoplus A_n \to \bigoplus A_n/\bar{f}A_{n-s} \to \bigoplus \mathfrak{q}^n/\mathfrak{q}^{n+1}. $$ Observe que $A_n/\bar{f}A_{n-s}$ e $\mathfrak{q}^n/\mathfrak{q}^{n+1}$ está $A/\mathfrak{q}$-módulos para todos $n$ (assumindo $s > 0$) e, portanto, deve ter comprimento finito desde $A/\mathfrak{q}$é Artin. Desde a$\mathfrak{q}^n/\mathfrak{q}^{n+1}$ é a imagem homomórfica de $A_n/\bar{f}A_{n-s}$, nós também temos isso $l(\mathfrak{q}^n/\mathfrak{q}^{n+1}) \leq l(A_n/\bar{f}A_{n-s})$. Finalmente observe que desde$\bigoplus A_n$ é gerado como um $A/\mathfrak{q}$-álgebra por $t_1,\dots,t_d$, os outros dois anéis são gerados pelas respectivas imagens destes. Como essas imagens são todas homogêneas de grau 1, obtemos de (11.2) que para todas as grandes$n$, $l(\mathfrak{q}^n/\mathfrak{q}^{n+1})$ é um polinômio $g(n)$ de grau $d(\bigoplus \mathfrak{q}^n/\mathfrak{q}^{n+1}) - 1$ e $l(A_n/\bar{f}A_{n-s})$ é um polinômio $h(n)$ de grau $d(\bigoplus A_n/\bar{f}A_{n-s}) - 1$. Agora desde$$g(n) = l(\mathfrak{q}^n/\mathfrak{q}^{n+1}) \leq l(A_n/\bar{f}A_{n-s}) = h(n)$$ para todos os grandes $n$, devemos ter isso $\deg g(n) \leq \deg h(n)$, portanto $$ d(\bigoplus \mathfrak{q}^n/\mathfrak{q}^{n+1}) = \deg g(n) + 1 \leq \deg h(n) + 1 = d(\bigoplus A_n/\bar{f}A_{n-s}) $$ o que prova a desigualdade.