Prova de continuidade de $\sqrt{x}$ - onde está meu erro?

Question

Estou tentando provar isso $f(x) = \sqrt{x}$ é contínuo em $[0, \infty)$. Aqui está o que tenho até agora:

Considerar $x_0 \in [0,\infty)$ $$|f(x) - f(x_0)| = |\sqrt{x} - \sqrt{x_0}|$$

Vamos multiplicar essa quantidade pelo número positivo $|\sqrt{x}+\sqrt{x_0}|$. Então,$$ \begin{align} |\sqrt{x} - \sqrt{x_0}| &< |\sqrt{x} - \sqrt{x_0}||\sqrt{x} + \sqrt{x_0}|\\ |\sqrt{x} - \sqrt{x_0}| &< |x-x_0| < \delta \end{align} $$

Vamos escolher $\delta=\epsilon$. Agora temos$$ \begin{align} |\sqrt{x} - \sqrt{x_0}| &<\delta \\ |\sqrt{x} - \sqrt{x_0}| &<\epsilon \\ |f(x) - f(x_0)| & < \epsilon \end{align} $$ Quando $|x-x_0|<\delta$. Parece provado se você me perguntar, mas pelo que li, o módulo de continuidade de$\sqrt{x}$ é $\delta(\epsilon)=\epsilon^2$. Isso me força a concluir que cometi um erro em algum lugar, mas não consigo encontrar. (Aposto que é algum detalhe idiota)

Agradeço antecipadamente!

Answer 1

Dica:

$$|\sqrt x-\sqrt{x_0}|=\frac{|x-x_0|}{\sqrt x+\sqrt{x_0}}<\frac\delta{\sqrt x+\sqrt{x_0}}$$

e você sabe $\;\sqrt x\ge 0\;$ para todos $\;x\in[0,\infty)\;$ , então $\;\sqrt x+\sqrt{x_0}\ge\sqrt{x_0}\;$ ...