Prova de que podemos encontrar números racionais arbitrariamente próximos de $\sqrt{2}$: Abordagem direta. [duplicado]

Question

A declaração da proposição:

Proposição . Para cada número racional$\epsilon > 0$, existe um número racional não negativo $x$ de tal modo que $x^{2} < 2 < (x+\epsilon)^2$.

A abordagem mais comum para provar a proposição é usando a contradição ( 1 , 2 ).

Minha pergunta é: é possível provar a proposição diretamente? Mais concretamente, é possível encontrar uma função$f: \mathbb Q^+\rightarrow \mathbb Q^+$ de modo que para racional positivo arbitrário $\epsilon$, temos

$$f(\epsilon)^2 < 2 < (f(\epsilon) + \epsilon)^2 $$

?

Answer 1

Definir $f(\varepsilon)$ ser o truncamento de $\sqrt{2}$ para $n$ casas decimais, onde $10^{-n} \leq \varepsilon$ é o poder mais próximo de $10$ de baixo.

Isso garante que $$f(\varepsilon) < \sqrt{2} < f(\varepsilon) + 10^{-n} \leq f(\varepsilon) + \varepsilon$$

Para ilustrar, se $\varepsilon=0.2$ então $n=1$ e a desigualdade se lê $$1.4 < \sqrt{2} < 1.5 \leq 1.6$$

Answer 2

Levar $$\epsilon\left\lfloor\frac{\sqrt2}\epsilon\right\rfloor.$$ Este racional é menor que $\epsilon$ longe de $\sqrt2$.

Answer 3

Usando o fato de que entre quaisquer dois números reais existe um número racional, dado qualquer$\varepsilon$ de tal modo que $4\sqrt{2}>\varepsilon>0, \exists x \in \mathbb{Q}$ de tal modo que $x \in (\sqrt{2} - \frac{\varepsilon}{2}, \sqrt{2})$, que dá: $x^2 < 2$ e $(x+\varepsilon)^2 > 2.$