prova para $e\leq 3(v-2)$ [Porque $d(f) \geq 3$?]

Question

Aqui está o teorema bem conhecido, "Para gráfico planar $G$, E se $v\geq3$ então $e\leq 3(v-2)$"

Eu revi minha nota discreta de matemática, de repente a questão passou pela minha cabeça.

Quando provamos o $e\leq 3(v-2)$ para gráfico planar, $G$. Nós costumavamos$d(f) \geq 3$.

Em minha nota, ele me disse o motivo pelo qual $d(f) \geq 3$ é "cada face é limitada por pelo menos três arestas, mas cada aresta faz fronteira com duas faces."

Quando vi pela primeira vez, ficou claro para mim. Mas o tempo passou eu duvido disso.

Porque ... Deixe-me sugerir o contra-exemplo abaixo.

O gráfico acima é um gráfico plano e $v=3, e=2,f=1$. Mas o$d(f) \lt 3$ (Ou seja, o rosto não é limitado por três arestas)

Ainda estou confuso qual é o ponto eu me engano.

Qualquer ajuda seria apreciada.

Answer 1

Seu contra-exemplo é discutido nesta resposta . Como as arestas são limites da mesma face, na prova o "limite da face" tem 4 arestas (cada aresta é contada duas vezes).