Provando que$(M \otimes_A N)_q = M_p \otimes_{A_p} N_q$por um primo$q$deitado$p$

Question

Deixar$f : A \to B$ser um morfismo entre anéis comutativos unitários. Podemos assim considerar$B$-módulos como$A$-módulos através deste mapa, e$A$-módulos como$B$-módulos via tensoring com$- \otimes_A B$.

Não deixe$M$e$N$ser$A$- e$B$-módulos respectivamente. Dado um primo$q$do$B$e deitado sobre um primo$p$dentro$A$, nós sabemos isso$f$desce para um mapa entre as respectivas localizações e, portanto, uma correspondência semelhante à anterior é válida para seus respectivos módulos.

eu quero mostrar isso$$ M_p \otimes_{A_p} N_q \simeq (M \otimes_A N)_q, $$Como$B_q$-módulos.

Meu raciocínio é o seguinte: já que

$$ (M \otimes_A N)_q \simeq M \otimes_A N \otimes_B B_q \simeq M \otimes_A N_q, $$

e$N_q$é um$B_q$-módulo, é um$A_p$-módulo, portanto$N_q \simeq A_p \otimes_{A_p} N_q$e portanto

$$ (M\otimes _A N)_q \simeq M \otimes_A A_p \otimes_{A_p} N_q \simeq M_p \otimes_{A_p} B_q. $$

Parece bom, mas estou usando a "associatividade do produto tensor em relação a anéis diferentes" sem me importar muito com isso.

Uma verificação de sanidade e/ou uma referência seria muito apreciada.

Answer 1

Seu argumento funciona! Você simplesmente aplicou o fato de que se$f : A\to B$é um morfismo de anel,$M$é um direito$A$-módulo,$N$é um$(A,B)$-bimódulo, e$L$é uma esquerda$B$-módulo, então$(M\otimes_A N)\otimes_B L\cong M\otimes_A (N\otimes_B L)$(veja aqui ). Chamemos este fato$(*).$Como você sabe, se$M$é um$R$-módulo e$S\subseteq R$é um conjunto multiplicativo, então$S^{-1}M\cong M\otimes_R S^{-1}R;$chame este fato$(**).$Então seu argumento é o seguinte cálculo:\begin{align*} (M\otimes_A N)_q &\cong (M\otimes_A N)\otimes_B B_q\qquad\quad\textrm{(using (**))}\\ &\cong M\otimes_A(N\otimes_B B_q)\qquad\quad\textrm{(using (*))}\\ &\cong M\otimes_A N_q\qquad\qquad\qquad\textrm{(using (**))}\\ &\cong M\otimes_A (A_p\otimes_{A_p} N_q)\qquad\textrm{because }R\otimes_R M\cong M\\ &\cong (M\otimes_A A_p)\otimes_{A_p} N_q\qquad\textrm{(using (*))}\\ &\cong M_p\otimes_{A_p} N_q\qquad\qquad\quad\textrm{(using (**))}. \end{align*}