Provar $\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n\log(n)}{\log(n!)} = 1$[duplicado]
eu preciso provar$$\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n\log(n)}{\log(n!)} = 1$$mas estou no meu juízo final. Eu vasculhei a web, mas só consigo encontrar exemplos / respostas provando o inverso = 0 e tentei vários métodos sem sucesso (termos expandidos, Regra de L'Hopitals com inúmeras derivações diferentes que estavam todas erradas). Alguém pode me apontar na direção certa, estou completamente preso ...
Respostas
Observe que$\log n! = \sum_{k=1}^n \log k$. Ao desenhar os gráficos relevantes, você pode ver:
$$\int_1^n \log x dx \le \sum_{k=1}^n \log k $$
$$\le \int_1^{n+1} \log x dx$$
Agora calcule a integral$\int_1^m \log x dx = m \log m - m + 1$, então o acima se torna
$$n \log n - n + 1 \le \log n! \le (n+1)\log(n+1)-n$$
E agora obtemos seu resultado pelo teorema do aperto, depois de dividir.
$\log(n!)\ge \frac{n}{2}\log(\frac{n}{2})$e assim$\dfrac{n\log(n)}{\log(n!)}\le \dfrac{n\log(n)}{\frac{n}{2}\log(\frac{n}{2})}$
Ao avaliar esse limite do limite superior, você obteria$2$desde$\lim_{n\rightarrow \infty} \dfrac{\log(n)}{\log(n/2)} = 1$. No entanto, se você escolher$\epsilon >1$, você vê
$\log(n!)\ge \frac{n}{\epsilon}\log(\frac{n}{\epsilon})$e assim$$\dfrac{n\log(n)}{\log(n!)}\le \dfrac{n\log(n)}{\frac{n}{\epsilon}\log(\frac{n}{\epsilon})}\rightarrow \epsilon$$
e desde$\epsilon>1$(arbitrário), você pode concluir que$$\dfrac{n\log(n)}{\log(n!)}\le 1$$
(você pode obter facilmente o limite inferior) e, portanto, o limite deve ser$1$.
Usando$$\left( \frac{n}{e}\right)^n \lt n! \lt e \left( \frac{n}{2}\right)^n$$temos$$n \log \frac{n}{e} \lt \log n! \lt \log e+ n \log \frac{n}{2}$$
Adição.
Para o lado esquerdo, o primeiro passo da indução é claro. Então$$(n+1)!=n!(n+1) \gt \left( \frac{n}{e}\right)^n (n+1) = \\ =\left( \frac{n+1}{e}\right)^{n+1} \frac{(n+1)\left( \frac{n}{e}\right)^n}{\left( \frac{n+1}{e}\right)^{n+1}} \gt \left( \frac{n+1}{e}\right)^{n+1}$$Porque$(n+1)\left( \frac{n}{e}\right)^n \left( \frac{n+1}{e}\right)^{-n-1}\gt 1$é equivalente$\left(1+ \frac{1}{n}\right)^{n} \lt e$.
Para o lado direito$$n! \lt \left(\frac{n+1}{2}\right)^{n} = e\left(\frac{n}{2}\right)^{n} \frac{\left(\frac{n+1}{2}\right)^{n}}{e\left(\frac{n}{2}\right)^{n}} = \\ =e\left(\frac{n}{2}\right)^{n} \frac{\left(1+ \frac{1}{n}\right)^{n}}{e} \lt e\left(\frac{n}{2}\right)^{n}$$
$$\displaystyle \frac{x\ln \left(x\right)}{\ln \left(x!\right)}=\frac{x\ln\left(x\right)}{\ln\left(\Gamma \left(x+1\right)\right)}$$
Aplicando a regra de L'Hôpital,
$$\lim _{x\to \infty }\left(\frac{x\ln \left(x\right)}{\ln \left(\Gamma \:\left(x+1\right)\right)}\right)=\lim_{x\to \:\infty \:}\left(\displaystyle \frac{\ln(x)+1}{\psi \:^{\left(0\right)}\left(x+1\right)}\right)$$
Aplicando novamente, rende
$$\lim _{x\to \infty }\left(\frac{\frac{1}{x}}{\psi ^{\left(1\right)}\left(x+1\right)}\right)=\lim _{x\to \infty }\left(\frac{1}{x\left(\psi ^{\left(1\right)}\left(x+1\right)\right)}\right)$$
O denominador se aproxima de 1 quando$x\rightarrow \infty$.