Provar que $(1+ \frac{1}{1^3})(1+\frac{1}{2^3})…(1+\frac{1}{n^3})<3$ [duplicado]

Question

Tentei usar a indução, mas depois de assumir que P (n) é verdadeiro, não posso ir além para provar que P (n + 1) também é verdadeiro. Também tentei encontrar uma desigualdade intermediária, mas não consigo descobrir de qual desigualdade devo começar.

Algo que parecia útil era pegar P (n) e multiplicar por $(1+\frac{1}{(n+1)^3})$, portanto, vim para este

$(1+ \frac{1}{1^3})(1+\frac{1}{2^3})...(1+\frac{1}{n^3})<3 | \times(1+\frac{1}{(n+1)^3})$

$(1+ \frac{1}{1^3})(1+\frac{1}{2^3})...(1+\frac{1}{n^3})(1+\frac{1}{(n+1)^3})<3(1+\frac{1}{(n+1)^3})$

mas, como qualquer um pode imaginar, cheguei à contradição porque tentei provar que $3(1+\frac{1}{(n+1)^3})<3$ o que é falso.

Qualquer ajuda seria útil.

Answer 1

Usando o fato $1+x\le e^x$ para tudo real $x,$ temos $$\left(1+ \frac{1}{1^3}\right)\left(1+\frac{1}{2^3}\right)\cdots\left(1+\frac{1}{n^3}\right)\le \dfrac{9}{4}\exp\left(\sum_{k=3}^{n}\dfrac{1}{k^3}\right).$$Agora use o fato de que$$\sum_{k=1}^{\infty}\dfrac{1}{k^3}\lt\dfrac{\pi^2}{7}.$$