Provar que existe um limite é equivalente a mostrar que seu valor é real (finito)?

Aug 18 2020

Estou estudando a análise I do Tao. Minha pergunta surge da comprovação de resultados usando a lei de limite, este é um exemplo da proposição 7.2.14 (c):

c) Vamos $\sum\limits_{n=m}^{\infty}a_n$ seja uma série de números reais, e deixe $k\geq 0$ser um número inteiro. Se uma das duas séries$\sum\limits_{n=m}^{\infty}a_n$ e $\sum\limits_{n=m+k}^{\infty}a_n$ são convergentes, então o outro também é, e temos a seguinte identidade $$\sum\limits_{n=m}^{\infty}a_n=\sum\limits_{n=m}^{m+k-1}a_n +\sum\limits_{n=m+k}^{\infty}a_n$$

Minha tentativa de provar: Deixe $S_N=\sum\limits_{n=m}^{N}a_n$ e $T_N=\sum\limits_{n=m+k}^{N}a_n$, então nós temos $S_N=\sum\limits_{n=m}^{m+k-1}a_n+T_N$ para todos $N\geq m+k$, (a declaração também é válida quando $N<m+k$ com $T_N=0$ e $S_N$ tem termos zero redundantes após o índice $N$ ), considerando o limite como $N\to \infty$, temos $$\lim_{N\to\infty}S_N=\lim_{N\to\infty}\sum\limits_{n=m}^{m+k-1}+\lim_{N\to\infty}T_N$$ $$=\sum\limits_{n=m}^{m+k-1}+\lim_{N\to\infty}T_N,$$ uma vez que a soma finita é independente de $N$.

Agora, assuma $\sum\limits_{n=m}^{\infty}a_n$ converge para $L$ , então $\lim_{N\to\infty}S_N$ existe e é igual $L$, e deixar $\sum\limits_{n=m}^{m+k-1}=M$, uma vez que somas finitas são convergentes, minha pergunta é se podemos usar os dois resultados anteriores para concluir que $\lim_{N\to\infty}T_N$ existe e é igual $L-M$.

Ou devo provar isso $S_N$ é uma sequência de Cauchy se e somente se $T_N$é? Novamente, não estou procurando uma solução ou uma verificação de prova, minha pergunta como diz o título: provar a existência de um limite equivale a mostrar que seu valor é finito ou não?

Em termos mais lógicos, é o seguinte $equivalence$ afirmação verdadeira: existe limite $\longleftrightarrow$ valor do limite $\in \mathbb{R}$.

Se sim, por que não podemos presumir que existem limites, então tente calcular seu valor e se for real, conclua que existe, por exemplo, na avaliação $\lim\limits_{n\to\infty}x^n$ e igual $L$, então $xL=\lim\limits_{n\to\infty}x^{n+1}=L$ , então nós temos $(x-1)L=0$. Desde a$x=1$ para cada real $x$ é um absurdo, concluímos que $L=\lim\limits_{n\to\infty}x^n=0$ quando $x\neq 1$. No entanto, sabemos que o raciocínio acima é falso, pois o limite não existe.

Respostas

user2661923 Aug 19 2020 at 07:00

Em primeiro lugar, votei positivamente; bom trabalho, bem mostrado.

Vejo algumas áreas em que sua análise precisa de melhorias:

(1)
Você deveria ter expressado
$$ \sum_{n=m}^{\infty} a_n \text{ as } \sum_{n=m}^{m+k-1} a_n + \sum_{n=m+k}^{\infty} a_n. $$

Isso é diferente do que você escreveu.

(2)
Continuando com sua abordagem aqui (que eu gosto), com a correção acima em vigor,
o primeiro termo no RHS:$\sum_{n=m}^{m+k-1} a_n$
é a soma de um número fixo de termos (e, portanto, finitos), uma vez que$m$ e $k$ são (presumo) números fixos.

Portanto, empregando sua abordagem, eu teria escrito que
$S = \sum_{n=m}^{m+k-1} a_n$, com $S$ independente de$N$,
e então escrito$T_N = \sum_{n=m+k}^{N} a_n. $

Então, por simplicidade de notação, eu teria escrito:
Let$T = \lim_{N \to \infty} T_N.$

(3)
Então o problema seria reduzido para mostrar que$T$ é finito (ao invés de infinito) se e somente se $(T + S)$ é finito.

Este é o ponto principal do problema, e é aqui que você deseja que sua intuição se expanda. A afirmação acima, se e somente se, deve ser direta para demonstrar o uso do$\epsilon, \delta$ definição de sua classe com referência a soma infinita.