Prove que a topologia do produto em $\Bbb C^n$ é igual ao normal
Portanto, é bem sabido que a função $\tau_n:\Bbb C^n\times\Bbb C^n\rightarrow\Bbb C$ definido pela condição
- $\tau_n(x,y):=\sum_{i=1}^n x_i\overline y_i$
para qualquer $x,y\in\Bbb C^n$é um produto interno. Então, peço para provar que a topologia do produto em$\Bbb C^n$ induzido pelo produto interno $\tau_1$ é igual à topologia $\tau _n$conforme definido acima. Eu aponto que preciso deste resultado para mostrar que as funções lineares entre dois espaços vetoriais topológicos são contínuas e, assim, mostrar que todas as topologias em um espaço vetorial topológico de dimensão finita são equivalentes e, portanto, solicito cortesmente não dar o que acabei de dizer como responda. Alguém poderia me ajudar, por favor?
Respostas
A topologia do produto é gerada pela norma
$$N_\infty(x)=\max(\vert x_1\vert, \dots \vert x_n\vert)$$ Onde $\vert x \vert = \sqrt{\tau_1(x,x)}$. Denotando
$$N_2(x) = \sqrt{\tau_n(x,x)}$$ temos
$$1/\sqrt{n}N_\infty(x) \le N_2(x) \le \sqrt{n} N_\infty(x)$$ o que permite concluir para o resultado desejado.