Prove que o principal $p$ Só pode ser $13$ [duplicado]

Question

Dado que $p$ é um primo tal que ambos $\frac{p-1}{4}$ e $\frac{p+1}{2}$ também são primos. Então prove que $p=13$. Minha tentativa: vamos$p_1,p_2$ ser primos tais que $$\frac{p-1}{4}=p_1$$ e $$\frac{p+1}{2}=p_2$$ Então nós temos, $$p=4p_1+1=2p_2-1$$ Agora, se eu começar a manter os valores, é claro que vou conseguir $p_1=3,p_2=7,p=13$como os únicos trigêmeos primos. Mas existe uma maneira formal de provar$13$ é o único valor de $p$.

Answer 1

Você tem

$$\begin{equation}\begin{aligned} 4p_1 + 1 & = 2p_2 - 1 \\ 4p_1 & = 2p_2 - 2 \\ 2p_1 & = p_2 - 1 \\ p_2 & = 2p_1 + 1 \end{aligned}\end{equation}\tag{1}\label{eq1A}$$

Com $p_1$, considere seus valores possíveis módulo $3$. Se é$p_1 \equiv 1 \pmod{3}$, então $p_2 \equiv 0 \pmod{3}$, o que não é permitido desde $p_2 \gt 3$. Alternativamente, se$p_1 \equiv 2 \pmod{3}$, então $p_2 \equiv 2 \pmod{3}$ então $p = 2p_2 - 1 \implies p \equiv 0 \pmod{3}$. O único caso em que isso pode ser possível é onde$p_2 = 2$ dando $p = 3$, mas então $p = 4p_1 + 1$não pode segurar. Isso deixa o único caso possível onde$p_1$, $p_2$ e $p$ são todos primos é onde $p_1 = 3$, levando ao seu único caso onde $p = 13$.

Answer 2

Suponha $p\equiv1\bmod3$, então é fácil verificar se $\frac{p-1}4\equiv0\bmod3$, então $\frac{p-1}4=3$ e $p=13$.

Suponha $p\equiv2\bmod3$, então por uma lógica semelhante $\frac{p+1}2\equiv0\bmod3$ e $p=7$, mas então $\frac{p-1}4$ não é integral.

Desde a $p>3$ de $\frac{p-1}4$ sendo principal, $p=13$.

Answer 3

Claramente, $(p-1)/4\ne2,(p-1)/4\ge3\iff p\ge13$

Então se $(p-1)/4>3,$

Ou $(p-1)/4=6k+1,k\ge1$

$(p+1)/2=12k+3=3(4k+1)$

Ou $(p-1)/4=6k-1,k\ge1,p=?$