Próximas etapas para um entusiasta da teoria Morse?

Dec 11 2020

Não sei se esta pergunta é realmente apropriada para MO, mas aqui vai: Eu gosto bastante da teoria de Morse e gostaria de saber em quais outras direções posso ir, mas como um não especialista completo, estou tendo problemas para a frente para identificar essas direções e onde devo ler. Abaixo, mencionarei minha formação e interesses particulares e, a seguir, mencionarei coisas de que ouvi falar ou sobre as quais me perguntei. Eu gostaria de receber referências adequadas ao meu nível, ou melhor ainda, esboços de qualquer trajetória histórica ou recente de Morse.

Eu li a Teoria Morse de Milnor e Lições sobre o Teorema do H-cobordismo (o último foi o assunto da minha tese de graduação). Também li um pouco sobre homologia de Morse. Acho que a questão é que meu conhecimento da teoria de Morse termina aí, não apenas em conhecimento detalhado, mas também em termos de temas e trajetórias. Isso torna difícil saber para onde olhar a seguir. Meus principais interesses (no momento) são em topologia diferencial e coisas simpléticas. Para dar a esta pergunta um intervalo razoável, aqui estão algumas restrições:

  • Esta questão se refere a tópicos da "teoria de Morse" (em algum sentido amplo), não a aplicações da teoria de Morse a outras coisas. Estou definitivamente interessado neles também, mas essa lista seria interminável. Em particular, estou movendo minhas curiosidades tóricas para uma questão diferente.
  • Estou interessado principalmente em coisas múltiplas, ao contrário da teoria de Morse discreta ou estratificada.
  • Restringir a dimensões finitas é perfeitamente adequado para este contexto. Estou ciente de que existem variedades de Hilbert / Banach e outros semelhantes a serem discutidos, mas não sei nada sobre eles. Talvez eu não possa proibir totalmente a teoria de Floer, mas direi apenas que, embora planeje aprender sobre ela um dia, acho que está além do meu escopo atual.

Aqui estão algumas coisas específicas sobre as quais me pergunto:

Produtos de cohomologia: imagino que para um par Morse-Smale, o produto da xícara (ou seu dual de Poincaré) poderia ser calculado por números de interseção das variedades instáveis ​​/ estáveis, embora eu não tenha lido um relato sobre isso em detalhes. Perto do final da Homologia de Morse de Schwarz (que não li), ele define o produto da xícara em um estilo análogo à construção usual de cohomologia singular. Talvez mais interessantes sejam os produtos do Capítulo 1 do livro "Morse Homotopy, de Fukaya,$A^\infty\!$-Categoria e homologias de Floer. "Não li isso ainda, mas espero fazê-lo em um futuro próximo. Há alguma outra visão importante do produto de xícara na cohomologia Morse que eu perdi aqui?

Estrutura CW: Na Teoria de Morse, Milnor descreve variedades adicionando células e, em seguida, deslizando-as para obter uma estrutura CW real (isto é, as células só se ligam a células de dimensões inferiores). Isso é útil, mas rapidamente deixa a variedade para trás e se torna apenas uma questão sobre homotopagem anexar mapas. As variedades instáveis ​​/ estáveis ​​adicionam uma camada importante de detalhes sobre decomposições de manipuladores, mas mesmo com um par Morse-Smale, os mapas "anexados" notoriamente falham na continuidade. Consertar isso parece ser uma questão complicada e não tenho certeza de onde está a resposta. Se bem entendi, isso está relacionado à compactação de espaços de módulos de linhas de fluxo, então talvez a resposta possa ser encontrada no livro de Schwarz ou nas notas de Hutchings? (Embora um comentário sobre esta questão de MOafirma que a afirmação de Hutchings está mal formulada.) Uma estrutura CW genuína está relacionada ao que Cohen-Jones-Segal estava procurando em "Teoria de Morse e espaços de classificação"? (Mais uma vez, não li, mas estou intrigado e espero.)

Fluxos de volume finito: outro artigo que me deixou intrigado, mas não li, é "Fluxos de volume finito e teoria de Morse" de Harvey e Lawson. Parece uma bela maneira de contornar as questões de descontinuidade mencionadas acima e criar um esquema totalmente novo da teoria de Morse no processo. No entanto, lê-la provavelmente envolveria aprender primeiro sobre as correntes ... Parece muito elegante por si só, mas pode ser interessante saber para onde vai essa teoria e o que está sendo feito com ela, como motivação para aprender os fundamentos necessários.

Teoria de Cerf: Já ouvi um pouco sobre a teoria de Cerf, mas não consigo encontrar nenhuma referência sobre ela (em inglês, já que não falo francês). Como uma forma de entender a relação entre diferentes decomposições de identificadores, parece uma coisa muito natural a ser seguida. Talvez seja impopular devido à dificuldade / extensão do artigo de Cerf? Ou porque foi posteriormente subsumido pelo trabalho de função enquadrada de Hatcher, Igusa e Klein (e talvez outros, eu simplesmente não sei nada sobre essa área), conforme mencionado nesta pergunta do MO ? Eu realmente nem sei o suficiente sobre isso para fazer uma pergunta adequada, mas adoraria qualquer sugestão de como aprender mais.

Outro: Alguma outra direção importante que você sugeriria a um entusiasta da teoria Morse?

Respostas

9 skupers Jan 14 2021 at 04:55

Um resultado de descoberta recente que usa a teoria de Morse de maneira substancial é a refutação de Watanabe da conjectura de Smale na dimensão 4 . Nele, ele fornece um método para calcular as integrais do espaço de configuração de Kontsevich contando certas linhas de fluxo quebradas para gradientes de funções de Morse. Esses invariantes da teoria de Morse são usados ​​para provar que certos pacotes de disco 4-dimensionais com trivializado não são pacotes triviais. Ainda há muito a fazer no desenvolvimento das propriedades desses tipos de invariantes e em usá-los para detectar grupos de homotopia não triviais dos grupos de difeomorfismo de outras variedades.

5 JHM Jan 13 2021 at 20:50

Próximos passos:

(0) (Teoria de Morse relativa) O artigo de Geoffrey Mess "Grupos de Torelli do gênero dois e três superfícies" estuda alguma teoria de Morse relativa do locus do período Abel-Jacobi nos espaços da metade superior de Siegel para deduzir que o grupo Torelli (no gênero dois ) é um grupo livre em contáveis ​​muitos geradores. Achei a prova dele muito interessante, e tentei aprender mais, mas dificilmente progredi ...

(1) (Estruturas quase complexas) se você estiver interessado em topologia simplética, o livro de Eliashberg-Cielebak "From Stein to Weinstein and back: Symplectic Geometry of Affine Complex Manifolds" tem um tratamento muito interessante da teoria de Morse, especialmente no que se refere a quase -estruturas complexas $J$ em variedades simpléticas $(M, \omega)$. Acho que este livro eclipsa os textos de Milnor. Contém provas muito elementares de que "qualquer$2n$variedade complexa dimensional tem o tipo de homotopia de um $n$-dimensional CW-complex ". (Na verdade, a variedade instável $W^+$ é totalmente lagrangeano em relação à forma simplética não degenerada $\omega=\omega_f$e é, portanto, no máximo $n$-dimensional). Aqui$f$ é uma função de Morse com valor real, cuja restrição a cada $J$-invariante de dois planos é subharmônico.

(2) O gradiente flui para os pólos (onde uma função potencial $f$ e seu gradiente $\nabla f$ diverge para $\pm \infty$) parece ter mais aplicações para topologia do que o fluxo de gradiente convencional para zeros. Especialmente ao tentar retrair uma fonte não compacta$X$em uma espinha compacta dimensional inferior. Aplicar fluxo de gradiente a zeros requer uma condição de continuidade na infinição de Lipschitz no parâmetro de deformação. Aqui, a desigualdade de Lowasiejiwicz normalmente desempenha um papel decisivo em provar a continuidade do fluxo gradiente reparametrizado. O maior problema com o "fluxo gradiente para zeros" é que o fluxo gradiente diminui à medida que se aproxima de seu alvo. Em minhas aplicações de transporte ótimo para topologia algébrica, acho o fluxo gradiente para os pólos muito mais conveniente, uma vez que o gradiente desfruta de uma explosão de tempo finito e a continuidade do fluxo reparametrizado é imediata, sem qualquer apelo para Lowasiejiwcz. Basicamente, o "fluxo gradiente para zeros" é um pouso suave, enquanto o "fluxo gradiente para os pólos" acelera no alvo.

Mais especificamente, estou propondo que o "fluxo gradiente para os pólos" é a próxima etapa importante. E isso ocorre regularmente no transporte ideal, como descrevo a seguir.

(3) (Transporte ideal) A teoria de Morse assume uma nova forma no transporte ideal, onde a teoria de Morse desempenha um papel no estabelecimento da regularidade / continuidade e singularidade de $c$- planos de transporte ótimos.

Considere um espaço de probabilidade de origem $(X, \sigma)$, alvo $(Y, \tau)$, e custo $c: X\times Y \to \mathbb{R}$. A dualidade de Kantorovich caracteriza o$c$- transporte ideal de $\sigma$ para $\tau$ através da $c$- potencial convexo $\phi=\phi^{cc}$ sobre $X$ com $c$-transformar $\psi=\phi^c$ sobre $Y$. Kantorovich diz que$c$- plano de transporte ideal $\pi$ é suportado no gráfico do $c$-subdiferencial $\partial^c \phi$, ou de forma equivalente no gráfico de $\partial^c \psi$.

As subdiferenciais são caracterizadas pelo caso de igualdade em $$-\phi(x)+\psi(y)\leq c(x,y).$$ Diferenciando o caso de igualdade com respeito a $x$ e $y$ produz as igualdades $$-\nabla_x \phi(x)=\nabla_x c(x,y)$$ e $$\nabla_y \psi(y)=\nabla_y c(x,y).$$ (RJMcCann mostra que essas igualdades se mantêm em quase todos os lugares sob hipóteses gerais sobre $c$) Por exemplo, a condição (torção): Se$Y\to T_x X$ definido por $y\mapsto \nabla_x c(x,y)$ é injetivo para todos $x\in X$, então $$y=T(x):=\nabla_x c(x, \cdot)^{-1}(\nabla_x \phi(x))$$ define um $c$- mapa mensurável de Borel ideal de $\sigma$ para $\tau:=T\#\sigma$.

Além da fibra $T^{-1}(y)$ pode ser caracterizado como o conjunto de $x$ satisfatório $\nabla_y\psi(y)=\nabla_y c(x,y)$ ou $$\nabla_y [c(x,y)-\psi(y)]=0.$$ Mas observe que diferenciar o $c$- Desigualdade de Legendre Fenchel uma segunda vez, estamos estudando exclusivamente os mínimos globais dos potenciais $y\mapsto c(x,y)-\psi(y)$, para cada $x\in X$.

Usando o teorema da Função Implícita usual, a fibra $T^{-1}(y)$ é uma subvariedade suave de $X$ E se $D_x(\nabla_y c(x,y))$ é não degenerado para todos $x\in T^{-1}(y)$. Se o alvo$(Y, \tau)$ é unidimensional, isso requer a função $x\mapsto \nabla_y c(x,y)$ ser ponto crítico livre para todos $y\in Y$, e $x\in T^{-1}(y)$.

Na maioria dos coletores de origem $(X, \sigma)$é difícil verificar a inexistência de pontos críticos. Se$X$ é compacto e $c$tem valor finito contínuo, então a teoria de Morse (cálculo elementar) o proíbe. Mas felizmente estudamos os custos$c$com pólos se os pólos são os únicos valores críticos de$c$! Por exemplo, a hipótese (Twist) pode ser reformulada dizendo que as duas pontas cruzam a diferença$$c_\Delta(x;y,y'):=c(x,y)-c(x,y')$$ é uma função gratuita de ponto crítico para todos $y,y'$,$y\neq y'$ e $x$em seu domínio. Isso não pode ser satisfeito em espaços compactos, a menos que postes sejam permitidos.

(3.1) (Funções de Morse / Custo Canônico?) Precisamos distinguir genérico e canônico . Em minha experiência, acho as funções genéricas muito difíceis de escrever, explorar ou implementar no Wolfram MATHEMATICA. As funções de Morse são conhecidas por serem genéricas (no sentido de Sard, Thom, etc.). Mas, pessoalmente, prefiro funções de Morse canônicas . Ou da perspectiva do transporte de massa, custos canônicos $c$ cujos derivados $\nabla c$ são funções do tipo Morse adequadas.

Por exemplo, se você deseja estudar o transporte ideal de uma superfície fechada $\Sigma$ para a linha real $Y=\mathbb{R}$ (ou para circular ou para representar graficamente), então se busca um custo apropriado $c: \Sigma \times Y \to \mathbb{R}$ satisfazendo as condições acima, por exemplo, que $\frac{\partial c}{ \partial y}(x ,y)$ ser ponto crítico livre em $x\in \Sigma$ para cada $y\in \mathbb{R}$. Isso é proibido pela teoria de Morse se$\Sigma$ é compacto e $c$está em toda parte finito. (Em aplicativos, permitimos$c$ Ter $+\infty$pólos. Então$\partial c/\partial y$ possivelmente é um ponto crítico livre em seu domínio).

Mas o que é um custo canônico $c: \Sigma \times \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ que representa um transporte geométrico interessante de $\Sigma$ para $\mathbb{R}$? Aqui, os espaços de origem e destino$\Sigma$, $Y=\mathbb{R}$ não têm interações a priori, eles nem mesmo estão embutidos em um espaço de fundo comum, a menos que suponhamos $Y\subset X$.

2 ZhaotingWei Jan 14 2021 at 00:11

Para o produto da xícara na estrutura da teoria de Morse, acho que Kenji Fukaya estudou na seção 1 de sua homotopia de Morse e sua quantização . Na verdade, para definir o produto da xícara, precisamos não de uma, mas de três funções de Morse.

Na geometria simplética, a homologia de Floer pode ser vista como um análogo dimensional infinito da teoria de Morse para a ação funcional no espaço do caminho. Consulte o livro Morse Theory and Floer Homology para uma introdução detalhada.