Quais são as equações padrão para a mudança das coordenadas cartesianas em $\mathbb{R}^2$?
Estou trabalhando na primeira seção da Introdução de Boothby aos manifolds diferenciáveis , e um dos exercícios é o seguinte:
Usando equações padrão para mudança de coordenadas cartesianas, verifique se $\frac{m_2 - m_1}{1 + m_1m_2}$, Onde $m_1, m_2$ são a inclinação de duas retas, é independente da escolha das coordenadas.
Mencionou-se que isso também pode ser feito provando que seu valor é apenas a tangente do ângulo entre as duas linhas, mas acredito que o exercício não deve ser concluído desta forma.
Não estou familiarizado com as equações padrão para mudança de coordenadas cartesianas. Parece uma mudança de coordenadas em$\mathbb{R}^2$ seria qualquer transformação afim, embora eu não tenha certeza disso.
Minha pergunta é: quais são as equações padrão para mudança de coordenadas cartesianas?
Respostas
Uma vez que os gradientes são invariantes nas translações, podemos supor, sem perda de generalidade, que os dois sistemas de coordenadas cartesianas têm a mesma origem, e cada linha passa por essa origem comum. A transformação das coordenadas$x,\,y$ para coordenadas $X,\,Y$ satisfaz$$X=x\cos\theta-y\sin\theta,\,Y=x\sin\theta+y\cos\theta$$para alguns $\theta\in\Bbb R$. E se$y=mx$ e $Y=nX$,$$0=x\sin\theta+mx\cos\theta-nx\cos\theta+nmx\sin\theta\implies n=\frac{m+\tan\theta}{1-m\tan\theta}.$$Finalmente,$$\frac{\frac{m_2+\tan\theta}{1-m_2\tan\theta}-\frac{m_1+\tan\theta}{1-m_1\tan\theta}}{1+\frac{m_1+\tan\theta}{1-m_1\tan\theta}\frac{m_2+\tan\theta}{1-m_2\tan\theta}}=\frac{\left(m_{2}-m_{1}\right)\left(1+\tan^{2}\theta\right)}{\left(1+m_{1}m_{2}\right)\left(1+\tan^{2}\theta\right)}=\frac{m_{2}-m_{1}}{1+m_{1}m_{2}}.$$Para encerrar, é importante notar que o pedido de Boothby para usar uma mudança de coordenadas cartesianas não apenas nos dá mais trabalho a fazer do que o necessário, mas faz com que o resultado final pareça um acidente. Não é. Escrita$m_1=\tan\theta_1$ etc, $\frac{m_2-m_1}{1+m_1m_2}=\tan(\theta_2-\theta_1)$, então o resultado segue da invariância rotacional dos ângulos no plano.
Se você tem dois sistemas de coordenadas cartesianas, $Oxy$ e $\Omega\xi\eta$, então a equação que os relaciona é $$ \begin{pmatrix}\xi \\ \eta \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x \\ y \end{pmatrix} + \begin{pmatrix}\xi(O) \\ \eta(O) \end{pmatrix}, $$ Onde
- o Matrix $\begin{pmatrix}a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ em invertível e
- $\xi(O)$ e $\eta(O)$ são as coordenadas de $O$ no segundo sistema de coordenadas.