Quais são as equações padrão para a mudança das coordenadas cartesianas em $\mathbb{R}^2$?

Aug 17 2020

Estou trabalhando na primeira seção da Introdução de Boothby aos manifolds diferenciáveis , e um dos exercícios é o seguinte:

Usando equações padrão para mudança de coordenadas cartesianas, verifique se $\frac{m_2 - m_1}{1 + m_1m_2}$, Onde $m_1, m_2$ são a inclinação de duas retas, é independente da escolha das coordenadas.

Mencionou-se que isso também pode ser feito provando que seu valor é apenas a tangente do ângulo entre as duas linhas, mas acredito que o exercício não deve ser concluído desta forma.

Não estou familiarizado com as equações padrão para mudança de coordenadas cartesianas. Parece uma mudança de coordenadas em$\mathbb{R}^2$ seria qualquer transformação afim, embora eu não tenha certeza disso.

Minha pergunta é: quais são as equações padrão para mudança de coordenadas cartesianas?

Respostas

J.G. Aug 18 2020 at 22:32

Uma vez que os gradientes são invariantes nas translações, podemos supor, sem perda de generalidade, que os dois sistemas de coordenadas cartesianas têm a mesma origem, e cada linha passa por essa origem comum. A transformação das coordenadas$x,\,y$ para coordenadas $X,\,Y$ satisfaz$$X=x\cos\theta-y\sin\theta,\,Y=x\sin\theta+y\cos\theta$$para alguns $\theta\in\Bbb R$. E se$y=mx$ e $Y=nX$,$$0=x\sin\theta+mx\cos\theta-nx\cos\theta+nmx\sin\theta\implies n=\frac{m+\tan\theta}{1-m\tan\theta}.$$Finalmente,$$\frac{\frac{m_2+\tan\theta}{1-m_2\tan\theta}-\frac{m_1+\tan\theta}{1-m_1\tan\theta}}{1+\frac{m_1+\tan\theta}{1-m_1\tan\theta}\frac{m_2+\tan\theta}{1-m_2\tan\theta}}=\frac{\left(m_{2}-m_{1}\right)\left(1+\tan^{2}\theta\right)}{\left(1+m_{1}m_{2}\right)\left(1+\tan^{2}\theta\right)}=\frac{m_{2}-m_{1}}{1+m_{1}m_{2}}.$$Para encerrar, é importante notar que o pedido de Boothby para usar uma mudança de coordenadas cartesianas não apenas nos dá mais trabalho a fazer do que o necessário, mas faz com que o resultado final pareça um acidente. Não é. Escrita$m_1=\tan\theta_1$ etc, $\frac{m_2-m_1}{1+m_1m_2}=\tan(\theta_2-\theta_1)$, então o resultado segue da invariância rotacional dos ângulos no plano.

DanielN Aug 18 2020 at 22:12

Se você tem dois sistemas de coordenadas cartesianas, $Oxy$ e $\Omega\xi\eta$, então a equação que os relaciona é $$ \begin{pmatrix}\xi \\ \eta \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x \\ y \end{pmatrix} + \begin{pmatrix}\xi(O) \\ \eta(O) \end{pmatrix}, $$ Onde

  1. o Matrix $\begin{pmatrix}a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ em invertível e
  2. $\xi(O)$ e $\eta(O)$ são as coordenadas de $O$ no segundo sistema de coordenadas.