Qual é a diferença entre Path $\infty$-Groupoid e Smooth Fundamental $\infty$-grupo de um espaço liso?

Question

Alguns dias atrás eu fiz uma pergunta: Existe uma versão geométrica / suave da hipótese de homotopia usando o caminho$\infty$-Grupo de um espaço liso? em MO sobre a existência de uma possível versão suave / geométrica da hipótese de homotopia usando a noção de caminho$\infty$-grupo de um espaço liso.

Depois de uma discussão na seção de comentários com @David Roberts , tive a sensação (mas não completamente convencido) de que, embora o Caminho 1-grupóide e o fundamental suave 1-grupóide de um espaço suave sejam objetos bastante diferentes, mas "se movermos até o nível do infinito" e apresentá-los como complexos de Kan, então eles estão se tornando o mesmo objeto.

3 meses atrás eu fiz a seguinte pergunta de MO: Qual é a realização geométrica do nervo de um grupóide fundamental de um espaço? .

Das discussões em

1. Existe uma versão geométrica / suave da hipótese de homotopia usando o caminho $\infty$-Grupo de um espaço liso?

2. Qual é a realização geométrica do nervo de um grupóide fundamental de um espaço?

agora tenho as seguintes perguntas / dúvidas:

Nós sabemos que a construção de Smooth Fundamental 1-Groupoid e Path 1-Groupoid de um espaço liso induz functores naturais $Man \rightarrow Groupoids$. Agora, da discussão em Qual é a realização geométrica do nervo de um grupóide fundamental de um espaço? Eu espero isso$|N \circ \pi_{\leq 1}(X)|$ contém todas as informações dos primeiros grupos de homotopia do espaço liso $X$ Onde $N$é o functor Nerve ,$\pi_{\leq 1}$é o functor Smooth Fundamental 1-Groupoid e$|-|$é o functor de realização geométrica . Agora podemos repetir o mesmo procedimento com o functor Path 1-Groupoid$\pi'_{\leq 1}: Man \rightarrow Groupoids$.

Minhas perguntas são as seguintes:

1. É $|N \circ \pi_{\leq 1}(X)|= |N \circ \pi'_{\leq 1}(X)|$? (Onde "$=$"está no sentido apropriado)

2. Existe uma maneira de apresentar um caminho $\infty$-grupo de um espaço liso de forma que seja diferente do Fundamental liso $\infty$-grupo do espaço? (Para que corresponda à nossa intuição para$n=1$ caso)

(De "$n$"Quero dizer" Groupoids no nível 1 ").

Answer 1

Só posso responder à sua primeira pergunta, e a resposta é não. Considere por exemplo$X=\mathbb{R}^2$, de modo que o grupóide fundamental é trivial, mas o grupóide de caminho contém setas distintas representadas por círculos de cada raio positivo passando por um ponto de base fixo (e muitos muitos mais além). Isso é ignorar todas as questões de topologia ou estrutura suave no conjunto de setas, o que eu acho que é sua intenção. E assim as realizações geométricas dos nervos destes não podem ser nem mesmo fracamente equivalentes à homotopia, visto que alguém é contrátil e possui um grupo fundamental que nem mesmo é finitamente gerado.