Qual é a expressão para a convolução de uma densidade uniforme[a,b] e uma densidade normal(0,d^2)?

Question

Suponha que eu tenha$X\sim Uniform[a,b]$e$Y\sim normal(0,d^2)$, qual é a expressão para a densidade de$Z=X+Y$?

Deixar$F_{Z}(z)$ser o cdf de$Z$avaliado em$z$, e deixar$\Phi(\cdot)$e$\phi$ser cdf normal padrão e pdf respectivamente. Eu obtive

$F_{Z}(z)=\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}\Phi(\frac{z-x}{d})dx$,

diferenciar wrt para$z$em ambos os lados dá

$f_{Z}(z)=\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}\phi(\frac{z-x}{d})\frac{1}{d}dx=\frac{1}{b-a}(\Phi(\frac{z-a}{d})-\Phi(\frac{z-b}{d}))$.

Isso parece correto? Obrigado!

Answer 1

Comente:

Como uma verificação da realidade, aqui está uma simulação para a convolução de$U \sim \mathsf{Unif}(a=2, b=7)$e$Z \sim \mathsf{Norm}(\mu = 0, \sigma = 3).$

Desta forma$E(U+Z) = 4.5 + 0 = 4.5$e$V(U+Z) = 25/12 +9 = 4.0833.$

set.seed(2020)
a = 2;  b = 7;  sg = 3
u = runif(10^6, a, b)
z = rnorm(10^6, 0, sg)
x = u + z
mean(x); mean(u);  mean(z);  mean(u) + mean(z)
[1] 4.497167        # aprx E(X) = 4.5
[1] 4.500343        # aprx E(U) = 4.5
[1] -0.003175144    # aprx E(Z) = 0
[1] 4.497167
var(x); var(u); 25/12; var(z); var(u) + var(u)
[1] 11.08561        # aprx Var(X)
[1] 2.081356        # aprx Var(U) = 25/12
[1] 2.083333        # 25/12
[1] 9.011073
[1] 4.162712

hist(x, prob=T, br=50, col="skyblue2", 
 main="Simulated Density of X")
curve(1/(b-a)*( pnorm((x-a)/sg) - pnorm((x-b)/sg) ),
  add=T, col="red", lwd=2)

Nota: Figura revisada após edição e comentário do OP.