Qualquer subconjunto compacto e convexo de $\mathbb{R}^n$ é uma retração de deformação de $\mathbb{R}^n$

Dec 01 2020

Estou olhando para uma pergunta do Capítulo 32 da Topologia Geral de Willard :

Qualquer subconjunto compacto e convexo de $\mathbb{R}^n$ é uma retração de deformação de $\mathbb{R}^n$

Estou lutando para nem mesmo saber por onde começar com este exercício, pois não tenho nenhuma intuição de por que a compactação está relacionada a (deformação) retrai.

Acho que vou precisar usar os seguintes fatos / definições:

  1. Deixei $X := \mathbb{R}^n$. E se$Y \subseteq X$ é convexo, então qualquer $f,g \in C(X,Y)$ são homotópicos.
  2. Um subconjunto $A \subseteq X$ é uma retração de $X$ E se $\exists r \in C(X,A)$ de tal modo que $r(a) = a,$ para cada $a \in A$. É uma retração de deformação de$X$ E se $r$ é homotópico (como um mapa em $X$) para $1_X$ (a função de identidade em $X$)
  3. Um subconjunto $E \subseteq X$ é compacto se cada capa de $E$ por conjuntos abertos de $X$tem uma subcobertura finita. (Editar: de acordo com os comentários, provavelmente quero usar o fato de que qualquer subconjunto compacto de$\mathbb{R}^n$ é fechado e limitado).

Qualquer ajuda, incluindo dicas sobre como começar a abordar esta questão, é apreciada.


Edit: Com base em um comentário, tentei mostrar que o disco da unidade fechada$D = \{ (x,y) \in \mathbb{R}^2: x^2 + y^2 \leq 1\}$ é uma retração de deformação de $\mathbb{R}^2$. Acho que mostrei isso abaixo, mas não achei isso particularmente esclarecedor, então me pergunto se pulei alguma coisa ou talvez minha "prova" disso não esteja correta.

$D$ é um subconjunto compacto e convexo de $\mathbb{R}^2$ e a função $r: \mathbb{R}^2 \to D$ dado por:

$r((x,y)) = \left\{ \begin{array}{ll} (x,y) & \quad x^2+y^2 < 1 \\ \big(\frac{x}{x^2 + y^2},\frac{y}{x^2+y^2}\big) & \quad x^2+y^2 \geq 1 \end{array} \right.$

é uma retração, como $r(d) = d$ para cada $d \in D$e é contínuo. De fato,$D$é uma retração de deformação; se nós vermos$r$ como um mapa de $\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$, vemos que é uma função contínua de $\mathbb{R}^2$ em um subconjunto convexo (claramente $\mathbb{R}^2$ é um subconjunto convexo de si mesmo) e, portanto, pelo Fato 1 acima, qualquer função contínua, incluindo a função de identidade $1_{\mathbb{R}^2}$, é homotópico para $r$.

Agradecemos qualquer feedback sobre esta primeira tentativa, pois realmente não vejo como isso esclarece a situação mais geral.

Respostas

3 PaulFrost Dec 02 2020 at 07:55

Devemos generalizar isso provando que

Qualquer subconjunto convexo fechado de $\mathbb R^n$ é uma forte deformação retraída de $\mathbb R^n$.

Deixei $C$ ser um subconjunto convexo fechado de $\mathbb R^n$. Para cada$x \notin C$ temos $$d(x,C) = \inf\{\lVert x - y \rVert : y \in C \} > 0 ,$$ porque caso contrário, encontraríamos uma sequência $(y_n)$ dentro $C$ de tal modo que $y_n \to x$. Mas então teríamos$x \in C$ Desde a $C$ está fechado.

Observe que a definição de $d(x,C)$baseia-se na norma euclidiana . Isso será essencial para nossa prova. Veja a observação abaixo.

Existe $y \in C$ de tal modo que $\lVert x - y \rVert = d(x,C)$. Na verdade, vamos$y_n \in C$ de tal modo que $\lVert x - y_n \rVert < d(x,C) + 1/n$. Esta sequência é limitada por$\lVert x \rVert + d(x,C) + 1$, portanto, tem uma subsequência convergente, então podemos assumir que wlog $(y_n)$ converge para alguns $y \in \mathbb R^n$. Desde a$C$ está fechado, nós temos $y \in C$ e $\lVert x - y \rVert = d(x,C)$.

Nós afirmamos que $y$ é único porque $C$é convexo. Então assuma que$y' \in C$ é o ponto $y' \ne y$ de tal modo que $\lVert x - y \rVert = \lVert x - y' \rVert$. Os pontos$x, y, y'$ abrangem um plano euclidiano afim $E^2 \subset \mathbb R^n$e formam um triângulo isósceles. O ponto médio$y'' = 1/2 y + 1/2y'$ do segmento de linha entre $y, y'$ está contido em $C$. Os pontos$x,y, y''$ forma um triângulo retângulo, assim $\lVert x - y \rVert^2 = \lVert x - y'' \rVert^2 + \lVert y - y'' \rVert^2$ que dá $\lVert x - y \rVert > \lVert x - y'' \rVert$, uma contradição.

Observação: Como apontado em um comentário de copper.hat, usamos uma propriedade especial da norma euclidiana$\lVert - \rVert$: É estritamente convexo, o que significa que qualquer bola fechada $B$ é um conjunto estritamente convexo, no sentido de que cada ponto no segmento de linha conectando dois pontos $x, y \in B$ diferente dos pontos de extremidade está dentro do interior de $B$. Provei um caso especial disso (para o ponto médio do segmento de linha) usando o teorema de Pitágoras. Observe que outras normas podem não ter essa propriedade.

Definir $$r : \mathbb R^n \to C, r(x) = \begin{cases} x & x \in C \\ \text{unique } y \in C \text{ such that } \lVert x - y \rVert = d(x,C) & x \notin C \end{cases}$$

Vamos provar isso $r$ é contínuo (ou seja, que $r$é uma retração). A continuidade é óbvia em todos os pontos internos de$C$.

Vamos agora considerar um ponto limite $\xi$ do $C$. Deixei$\epsilon > 0$ e $x \in \mathbb R^n$ de tal modo que $\lVert x - \xi \rVert < \epsilon/2$. Nós afirmamos que$\lVert r(x) - r(\xi) \rVert = \lVert r(x) - \xi \rVert < \epsilon$. Isso é trivial para$x \in C$. Para$x \notin C$ temos $\lVert r(x) - \xi \rVert \le \lVert r(x) - x \rVert + \lVert x - \xi \rVert = d(x,C) + \lVert x - \xi \rVert \le 2 \lVert x - \xi \rVert < \epsilon$.

Vamos finalmente considerar um ponto $\xi \notin C$. Na sequência, será útil fazer desenhos para entender geometricamente o que está acontecendo.

Começamos com uma preparação. Deixei$P^{n-1}(x)$ denotam o hiperplano afim que contém $r(x)$ e é ortogonal à linha que atravessa $x$ e $r(x)$ (ie $P^{n-1}(x) = \{r(x) + y : \langle y, x - r(x) \rangle = 0\}$ , Onde $\langle -, - \rangle$denota o produto interno padrão). Este é o hiperplano tangente da esfera$S^{n-1}(x;d(x,C))$ com centro $x$ e raio $d(x,C)$ no ponto $r(x)$. $P^{n-1}(x)$ divide $\mathbb R^n$em dois meios-espaços abertos. Deixei$H^n(x)$ denotam o meio-espaço aberto contendo $x$ (ie $H^n(x) = \{r(x) + y : \langle y, x - r(x) \rangle > 0\}$) Nós afirmamos que$H^n(x) \cap C = \emptyset$. Suponha que existe$y \in H^n(x) \cap C$. Os pontos$x, r(x), y$ estão contidos em um plano euclidiano afim $E^2 \subset \mathbb R^n$ (E se $y$ encontra-se na linha através $x$ e $r(x)$, então $E^2$não é único , mas isso não importa). O conjunto$S' = E^2 \cap S^{n-1}(x;d(x,C))$ é um círculo em $E^2$e $L = E^2 \cap P(x)$ é a linha tangente para $S'$ em $r(x)$. O circulo$S'$ Limita o disco aberto $D^2(x,d(x,C)) \subset E^2$ com centro $x$ e raio $d(x,C)$. Claramente$y \notin D^2(x,d(x,C))$ porque caso contrário $d(x,C) \le \lVert y - x \rVert < d(x,C)$. A linha$L(y)$ através $y$ e $r(x)$ é diferente de $L$, portanto $D^2(x,d(x,C)) \cap L(y)$não está vazio. Deixei$y' \in D^2(x,d(x,C)) \cap L(y)$. Desde a$y \notin D^2(x,d(x,C))$, o ponto $y'$ encontra-se entre $y$ e $r(x)$, portanto $y' \in C$ Porque $C$é convexo. Portanto$d(x,C) \le d(x,y') < d(x,C)$, uma contradição.

Agora deixe $ 0 < \epsilon \le d(x,C)$ e $x \in \mathbb R^n$ de tal modo que $\lVert x - \xi \rVert < \epsilon/2$. Observe que isso garante$x \in H^n(\xi)$. Nós afirmamos que$\lVert r(x) - r(\xi) \rVert < \epsilon$. Deixei$\rho(x) \in P^{n-1}(\xi)$ ser o único ponto dessa linha $L_x$ através $x$ e $\rho(x)$ é ortogonal a $P^{n-1}(\xi)$. Nós temos$\lVert \rho(x) - r(\xi) \rVert < \epsilon/2$: Observe que no quadrilátero com vértices $\xi, x, r(\xi), \rho(x)$ (que abrange um plano euclidiano afim $E^2 \subset \mathbb R^n$) as bordas $\overline{\xi r(\xi)}$ e $\overline{x \rho(x)}$ são paralelos com a distância $\lVert \rho(x) - r(\xi) \rVert$, portanto $\lVert \rho(x) - r(\xi) \rVert \le$ comprimento da borda $\overline{x \xi}$ qual é $\lVert x - \xi \rVert < \epsilon/2$. Nós temos$d(x,C) \le d(x,r(\xi))$, portanto $r(x)$ está contido na bola fechada $\bar D^n(x,d(x,r(\xi))) \subset \mathbb R^n$ com centro $x$ e raio $d(x,r(\xi))$. Desde a$H^n(\xi) \cap C = \emptyset$, nós devemos ter $r(x) \in D' = \bar D^n(x,d(x,r(\xi))) \cap G^n(\xi)$, Onde $G^n(\xi) = \mathbb R^n \setminus H^n(\xi)$ é o meio-espaço fechado limitado por $H^{n-1}(\xi)$ e não contendo $\xi$. O cruzamento$D'' = \bar D^n(x,d(x,r(\xi))) \cap P^{n-1}(\xi)$ é uma bola fechada em $P^{n-1}(\xi)$ com centro $\rho(x)$ e raio $R = \lVert \rho(x) - r(\xi) \rVert < \epsilon$. portanto$D'$ é uma cúpula esférica de $\bar D^n(x,d(x,r(\xi)))$ com base $D''$. O diâmetro de$D'$ é igual ao diâmetro de $D''$ qual é $2R$. portanto$\lVert r(x) - r(\xi) \rVert \le 2R < \epsilon$.

$r$é na verdade uma forte retração de deformação. Olhe para a$$H: \mathbb R^n \times I \to \mathbb R^n, H(x,t) = (1-t)x + tr(x) .$$