Quando a composição de mapas lineares é um isomorfismo

Question

Deixei $T:V\rightarrow W$ e $L:W\rightarrow U$ ser mapas lineares entre dimensões finitas $\mathbb{R}$-Espaços de vetor. Estou curioso para saber quando$L\circ T:V\rightarrow U$ é um isomorfismo.

Minha hipótese é que $L\circ T$ é um isomorfismo se e somente se $Ker(L)^{\perp} = Im(T)$. (Com isto quero dizer que$Im(L) \cap Ker(L)={0}$)

Aqui está o que eu aprendi até agora, por esta postagem sabemos que$L$ deve ser injetiva e (argumentando duplamente) descobrimos que $T$deve ser sobrejetora. Então, aplicando o lema da divisão : escrevemos$W\cong V\oplus U$. Desde a$T$ é injetivo e linear então $V\cong Im(T)$. Agora, desde$L$ é sobrejetora então se $Im(T)$ cruza $\ker(L)$ não trivialmente (ou seja, mais do que apenas em $0$) então $Im(L)$ é de dimensão estritamente inferior $U$; de onde não pode ser sobrejetora. Portanto,$Im(T)\cap \ker(L)={0}$. A direção oposta é clara.

Meu argumento também seria válido se $L\circ T$ é só injetivo?

Answer 1

O lema da divisão não se aplica nesta situação. Também para$L \circ T$ ser bijetivo $L$ deve ser sobrejetora e $T$ injetivo.

A seguinte afirmação é verdadeira para toda composição de mapas. $L \circ T$ é bijetivo sse $T$ é injetivo e $L|_{im T} $é bijetivo. Ao olhar para mapas lineares, isso se traduz em:

$L \circ T$ é bijetivo sse $T$ é injetivo, $L$ sobrejetiva e $im(T) \cap ker(L) = {0}$