Quocientes de grupos abelianos - finitude residual e elementos de ordem$p$

Question

Suponha$A$é um grupo abeliano e$\pi$é um conjunto de números primos. UMA$\pi$-número é um produto de primos de$\pi$.

Suponha que para cada$p \in \pi$,$A_p = \{a \in A : \exists i\in\mathbb{N} \text{ s.t } a^{p^i} = 0\}$tem expoente finito.

Suponha também que$A$é$\pi$-reduzido; não há subgrupos não triviais de$A$que são$\pi$-divisível. Ou seja, para qualquer$H \leq A$há$h \in H$e$m$uma$\pi$-número tal que para qualquer$x \in H$,$x^m \neq h$.

Deixar$j \in \mathbb{N}$,$p \in \pi$e$m = p^jn$uma$\pi$-número onde$n$é relativamente primo para$p$.

1. porque é$A/A^m$residualmente finito?

2. porque$A^{p^j}/A^m$não tem elemento de ordem$p$?

Aqui está o contexto de grupos solúveis infinitos:

Answer 1

$A/A^m$é um grupo abeliano de expoente finito (especificamente, divisão de expoente$m$), e todo grupo abeliano de expoente finito é uma soma direta de grupos cíclicos e, em particular, residualmente finito. Veja, por exemplo, as respostas no grupo abeliano infinito, onde todos os elementos têm ordem 1, 2 ou 4 .

Uma vez que cada elemento$a\in A/A^m$satisfaz$a^m=1$, todo$p^j$o poder$a^{p^j}$satisfaz$(a^{p^j})^n=1$. Assim a ordem de$a^{p^j}$divide$n$, e assim não pode ser$p$. Aquilo é,$A^{p^j}/A^m$não tem elementos de ordem$p$.