Razões de polinômios e derivados em um determinado

Question

Deixar $p(x)$ ser um polinômio de grau $n>2$, com raízes $x_1,x_2,\dots,x_n$(incluindo multiplicidades). Deixar$m$ser um número inteiro par positivo. Defina o seguinte mapeamento$$V_m(p)=\sum_{1\leq i<j\leq n}(x_i-x_j)^m.$$

PERGUNTA. Para$\deg p(x)=n>2$ e $p'(x)$ sua derivada, você pode expressar $$\frac{V_m(p)}{V_m(p')}$$ como a função de $m$ e $n$ sozinho?

Observação. Impulsionado pelas perguntas de Fedor, como uma demonstração acabei de computar (não provar) que$$\frac{V_2(p)}{V_2(p')}=\frac{n^2}{(n-1)(n-2)}.$$

Answer 1

Aqui, um código SageMath que fornece uma função de V(m)computação$V_m(p)$ em termos de funções simétricas elementares de $x_1,\dots,x_n$ (ou seja, coeficientes de $p$)

Por exemplo, se $p(x) = x^n - e_1 x^{n-1} + e_2 x^{n-2} + \dots$, então $$V_2(p) = (n-1)e_1^2 - 2n e_2,$$ $$V_4(p) = (n-1) e_1^4 - 4n e_2 e_1^2 + (2n+12)e_2^2 + (4n-12) e_3 e_1 - 4n e_4,$$ e assim por diante.

A partir dessas expressões, uma prova para $m=2$segue instantaneamente. No entanto, para maiores$m$ a proporção $\frac{V_m(p)}{V_m(p')}$ não parece ser uma função de $n$, que testei computacionalmente para $m$ até $20$.

Answer 2

Se isso fosse verdade, $V_m(p)/V_m(p'')=(V_m(p)/V_m(p'))\times(V_m(p')/V_m(p''))$ também dependeria apenas de $m$ e $n=\deg p$, e assim por diante, até chegarmos $V_m(p)/V_m(p^{(n-2)})$. Nós temos$$V_m(p^{(n-2)})=V_m\left(\frac{n!}2x^2-(n-1)!\left(\sum x_i\right)x+(n-2)!\sum_{i<j} x_ix_j\right)=c_{nm}\left((n-1)\left(\sum x_i\right)^2-2n\sum_{i<j}x_ix_j\right)^{m/2}=\tilde{c}_{nm} V_2(p)^{m/2}.$$ Então, se isso fosse verdade, teríamos $V_m(p)=C_{nm} (V_2(p))^{m/2}$. Isso já é falso para$n=m=4$: se todas as raízes de $p$ são 0 e 1, temos $V_4=V_2$, mas $V_2^2/V_4=V_2$ não é fixo.