Resolvendo equações não lineares da forma $\mathbf x = A f(\mathbf x)$

Question

Deixei $A$ seja um real, invertível $n\times n$matriz. Estou interessado em encontrar os vetores$\mathbf{x}\in\mathbb R^n$ que resolvem a seguinte equação:

$$\mathbf x = A \tanh(\mathbf x)$$

onde o $\tanh$é aplicado elemento a elemento. De forma mais geral, podemos considerar outros tipos de não linearidades, em vez do$\tanh$ (mas sempre aplicado em termos de elemento).

Existe uma abordagem genérica para estudar as soluções desse tipo de equações? Provavelmente explorando a decomposição própria de$A$?

Adicionei a tag "pedido-referência" caso alguém possa sugerir referências relevantes à literatura.

Answer 1

No caso 2D, a equação assume a forma $$\begin{cases}x=a f(x)+bf(y),\\y=cf(x)+df(y)\end{cases}$$

e após eliminação de $y$, obtemos uma equação não linear univariada $$\frac{x-af(x)}b=f\left(cf(x)+\frac db(x-af(x)\right).$$ Não vemos nenhuma simplificação particular nem conexão com os autovalores.

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Eu vi casos numéricos com quatro soluções positivas distintas.