Resposta de Freqüência Op-Amp dupla
Estava olhando para a colocação do capacitor em circuitos op-amp ideais duplos e deparei com este circuito (R1 = R2 = R3 = 1kOhm, R4 = 10kOhm, C1 = 1uF):
Tentei determinar o ganho de voltagem (função de transferência) deste circuito G = (vo / vi), para o qual obtenho a seguinte expressão:
$$\frac{v_o}{v_i}=\frac{R_2}{R_{eq}}\frac{R_4}{R_3}=\frac{R_2R_4}{R_3R_1}(1+sC_1R_1)$$
onde Req = (R1 || (1 / sC1)) e s = jw = variável de frequência.
Decidi traçar um gráfico de Bode para esta função de transferência e obtive um resultado instável em altas frequências, como esperado, uma vez que G se aproxima do infinito conforme s se aproxima do infinito. No entanto, quando simulo este circuito (usei o CircuitLab), o gráfico de Bode que obtenho é semelhante em formato ao de um filtro passa-banda.
Isso me faz pensar que minha derivação da função de transferência G está incorreta e que ela deve corresponder à função de transferência associada a um filtro passa-banda de 1ª ordem. Alguém poderia confirmar minha suspeita?
Respostas
Este circuito é maravilhosamente malévolo e, se eu estivesse dando uma aula de circuitos, faria disso um problema de lição de casa e, em seguida, colocaria algum derivado dele no final.
Esqueça o segundo amplificador e R3 e R4. Isso é apenas uma distração. Para muitas, muitas combinações de peças do mundo real, o primeiro estágio oscilará. Onde não oscila, em alguma frequência mostrará uma ressonância forte, com um ganho muito superior ao esperado \$H_{fs}(s)=\frac{R_2}{R_1}\left(R_1 C_1 s + 1\right)\$.
A razão para isso é porque \$C_1\$na verdade, coloca um pólo no loop de feedback, e a maioria dos amplificadores operacionais atualmente são estabilizados contra zeros no loop de feedback (ou seja, um limite em paralelo com \$R_2\$), eles não são estabilizados contra postes.
Se você voltar para KVL, descobrirá que pode escrever $$v_- = \frac{G_2 v_o + (G_1 + C_1 s)v_i}{G_1 + G_2 + C_1 s} \tag 1$$(onde estou usando condutância em vez de resistência, porque sou preguiçoso - basta pegar \$G_1 = 1/R_1\$, e assim por diante).
Agora, esqueça o amplificador operacional ideal e deixe \$v_o = - H_a(s) v_-\$. Resolva (1) para \$v_-\$ e você consegue $$V_-(s) = \frac{C_1 s + G_1}{C_1 s + G_2 H_a(s) + G_2 + G_1}V_i(s) \tag 2$$
Em um amplificador operacional típico, \$H_a\$ tem a forma $$H_a(s) = \frac{\omega_{GBW}}{(s + \omega_0)(\frac{s}{\omega_1} + 1)(\frac{s}{\omega_2} + 1)\cdots(\frac{s}{\omega_\infty} + 1)}\tag 3$$Normalmente \$\omega_0\$está por perto \$1\mathrm{Hz}\$para \$100\mathrm{Hz}\$, e \$\omega_1\$através de \$\omega_\infty\$será maior que \$\omega_{GBW}\$, e alto o suficiente para que a mudança de fase de \$H_a\$não é mais do que 120 graus ou mais no ganho de unidade, garantindo assim a estabilidade se você não mexer .
No entanto, assim que você coloca esse capacitor no caminho de avanço, você está introduzindo um pólo no ganho do loop. Se você brincar com (2), verá que a tendência geral do circuito com \$C_1\$lá está para começar a música. Se o op-amp fosse um integrador perfeito ( \$H_a(s) = \frac{\omega_{GBW}}{s}\$), então você obteria uma ressonância supergrande aproximadamente na média geométrica de \$\omega_{GBW}\$e \$\frac{1}{G_2 C_1}\$. Com quaisquer pólos reais na resposta do amplificador operacional, ele oscilará - provavelmente perto da mesma média geométrica, ou talvez um pouco mais baixo.
Eu sugeriria que você simule este circuito com um modelo real de amplificador operacional no domínio do tempo - não apenas usando uma varredura de frequência. Não tentei, mas acho que você verá uma oscilação.
Observe que se você quisesse fazer algo assim no mundo real e realmente funcionasse, você colocaria uma resistência em série com \$C_1\$. Se alguém está lendo isto e está furioso comigo porque tem um circuito como este e também funciona - verifique se \$C_1\$é um eletrolítico, e olhe para o estágio anterior. Para muitas combinações de amplificador operacional e capacitor eletrolítico, o ESR do capacitor pode muito bem estabilizar o circuito o suficiente para que, pelo menos, fique estável (se não for bem comportado). Por falar nisso, se o estágio anterior tiver uma impedância diferente de zero na faixa correta de frequências, isso também estabilizaria o circuito.
Muito mistério está entrando nas respostas. Simplificando, o ganho do primeiro estágio é$$\frac{Z_f}{Z_{\text{in}}}$$
O denominador vai para zero na alta frequência, pois a tampa se comporta como um curto.
Este é um caso curioso - eu simulei e obtive a mesma resposta “passa-banda” afiada.
Sua equação de transferência está correta.
É um filtro passa-alta e o ganho explode até o infinito em altas frequências.
Isso faz sentido: a impedância de C1 vai para zero, então o ganho do primeiro estágio R2 / 0 vai para o infinito.
Mas na vida real ou mesmo na simulação, o opamp só pode produzir um certo limite. Em algum ponto, a entrada inversora do opamp não pode mais ser mantida em um terra virtual porque o opamp ficou sem oscilação de tensão.
Portanto, o ganho aumentará rapidamente à medida que a impedância de C1 cai, atinge algum máximo e, a partir daí, o opamp deixa de se comportar, tornando-se um comparador indisciplinado que se choca contra os trilhos. Os resultados da simulação no domínio da frequência neste ponto se tornarão sem sentido porque as coisas ficaram não lineares (distorção).
A maneira de fazer esse circuito se comportar é adicionar alguma resistência de fonte Rs em sua fonte de tensão. Isso evita a divisão por 0 e, desde que o ganho do primeiro estágio de R2 / Rs esteja dentro da faixa do opamp, você obterá sua resposta passa-alta esperada.
Haverá um rolloff adicional acima de 100 kHz devido à fraqueza geral do opamp em altas frequências.
EDIT Aqui está um gráfico da simulação da qual o OP está falando. Uma resposta passa-alto era esperada dada a função de transferência, mas esse passa-banda aparente e agudo foi observado.
