Se um analítico$f$satisfaz qualquer uma dessas duas condições, então é constante

Question

Estou tentando questões de atribuição de um instituto em que não estudo. Estou impressionado com esses 2.

1. Se$f$é uma função diferenciável de uma região$X$dentro$\mathbb{C}$em$\mathbb{R}$provar que$f$é necessariamente uma constante.

2. Se$f$e$\bar {f}$ambos são analíticos em uma região$X$mostre que eles são constantes na região$X$.

Tentativas:

1. A região está sempre aberta. Então, gama de$f$deve ser aberto (teorema de mapeamento aberto), mas$\mathbb{R}$não está aberto em$\mathbb{C}$mesmo que seja um singleton como complemento de$\{x\}$não está fechado. Então, estou confuso sobre como posso provar a afirmação.

2. Para 2, não tenho nada para mostrar, pois estou realmente confuso sobre qual resultado usar devido a$\bar{f}$em questão.

Por favor, ajude.

Answer 1

Sua prova para 1) está correta. Para 2), se ambos$f$e$\bar{f}$são holomórficos (diferenciáveis), então também o são$\mathrm{Re}(f)$e$\mathrm{Im}(f)$, mas seus intervalos estão em$\Bbb{R}$. Pelo que você provou em 1), ambos devem ser constantes, portanto$f$é constante.