Sequências de Følner com formas estranhas
Deixar $G$ser um grupo discreto e finitamente gerado. Lembre-se disso$\{F_n\}_{n \in \mathbb{N}}$é uma sequência de Følner se$|g F_n \cup F_n|/|F_n| \rightarrow 1$ para cada $g \in G$. Como é bem conhecido, a existência de uma sequência de Følner é equivalente à amenização de$G$.
Costuma-se dizer que as sequências de Følner têm formas estranhas . Minha pergunta fácil é: quais exemplos temos que apóiam essa afirmação? Claro se$G$é de crescimento subexponencial, então uma subsequência de bolas forma uma sequência de Følner, e esta não tem uma forma estranha . Portanto, mais especificamente: quais exemplos de grupos de crescimento exponencial conhecemos que possuem sequências de Følner explícitas não feitas de bolas?
Como exemplos dos exemplos que estou pedindo, a sequência de Folner em forma de estrela pede conjuntos de Følner de uma determinada forma, enquanto uma resposta de conjuntos de Folner e bolas fornece sequências explícitas feitas de retângulos (em oposição a bolas). Da mesma forma, o grupo ax + b tem uma sequência de Følner feita de retângulos em que um lado é exponencialmente maior do que o outro.
Respostas
A álgebra é mais útil aqui do que imagens, mas as imagens são divertidas, então aqui vai. Para substanciar meu comentário sobre o acendedor de lâmpadas, representações rápidas de uma bola típica e um conjunto de acendedor de lâmpadas Følner. Na verdade não sei qual destes é mais bonito, mas o conjunto Følner é o que mais parece uma bola.
As duas fotos são tiradas de ângulos diferentes e, portanto, formam um estereograma, então se você olhar para a imagem mais à esquerda com seu olho direito e vice-versa, sua estereopsia deve entrar em ação. as fotos.
Primeiro, a bola ou raio $3$com os geradores onde a cabeça se move. Quando a cabeça se move para a direita, você sobe no diagrama. Estou usando algumas convenções, que, espero, podem ser adivinhadas.
Aqui está um conjunto Følner típico com os mesmos geradores.
Esta questão tornou-se popular nos anos 50 e 60 depois que o teorema de Folner foi provado. Muitos exemplos de conjuntos de Folner estranhos foram construídos. Os exemplos típicos de grupos em que os conjuntos de Folner não são bolas são os grupos de acendedores de lâmpadas e os produtos de grinaldas de infinitos grupos cíclicos. Para artigos mais recentes, consulte Anna Erschler. Em perfis isoperimétricos de grupos gerados finitamente. Geom. Dedicata, 100: 157–171, 2003 e as referências nele contidas.
Uma resposta à sua pergunta não fácil é que todos os grupos a seguir têm [pelo menos um] conjunto gerador onde as bolas não são conhecidas como Folner, mas alguma outra sequência ("retangular") é: Baumslag-Solitar solucionável, alguns produtos de grinalda (incluindo o acendedor), algumas extensões de$\mathbb{Z}^d$ de $\mathbb{Z}$ (aqueles dados por uma matriz sem valores próprios da norma 1), alguns $ax+b$ grupos e basicamente quase todos os grupos receptivos de crescimento exponencial cuja série de crescimento é racional e foi calculada (veja detalhes abaixo).
"estranheza" dos conjuntos de Folner: Como mencionado na pergunta, [uma subsequência da sequência de] bolas formam uma sequência natural de Folner em qualquer grupo de crescimento subexponencial. Agora, como apontado por outros, as bolas (em relação a algum conjunto gerador finito) são bastante "feias". Isso pode ser preciso se considerarmos o conceito de um conjunto de Folner ideal:
Deixar $I(n)= \displaystyle \inf_{|A| \leq n} \dfrac{|\partial A|}{|A|}$ (a $\inf$ corre em todos os conjuntos $A$ do tamanho $\leq n$) seja o perfil isoperimétrico. Em seguida, um conjunto$F$ é ótimo se $I(|F|)=\dfrac{|\partial F|}{|F|}$. Em palavras: se um conjunto$E$ não é maior [em termos de cardinalidade] do que $F$, então é a razão isoperimétrica $\dfrac{|\partial E|}{|E|}$, não supera a razão isoperimétrica de $F$.
Pode-se verificar (usando a desigualdade de Loomis-Whitney) que os conjuntos de Folner ideais $\mathbb{Z}^d$(wrt o conjunto gerador usual) são [hiper] cubos (ou que tendem a ter uma forma retangular). Esta é uma forma inequívoca de dizer que as bolas são conjuntos de Folner "desajeitados". Em comparação, os conjuntos ótimos não são "estranhos" de forma alguma (já que devem ser extremamente bem escolhidos).
Para saber mais sobre estranheza, consulte as notas laterais abaixo.
Exemplos explícitos: Em seguida, dado um grupo de crescimento exponencial, é uma questão em aberto se qualquer subsequência da sequência de bolas é Folner. Eu dei uma resposta parcial que mostra que este não é o caso quando o grupo [junto com a escolha do conjunto gerador] diminuiu o crescimento exponencial. Isso inclui muitos produtos de grinaldas, grupos Baumslag-Solitar solucionáveis e algumas extensões de$\mathbb{Z}^d$ de $\mathbb{Z}$ (veja o link para detalhes).
Todos esses grupos podem ser escritos como produtos semi-diretos. Se$G$ e $H$ são receptivos, então pode-se mostrar que $G \rtimes H$ é ameno e que os conjuntos de Folner são da Forma $E_n \times F_n$ (Onde $E_n$ [resp. $F_n$] é uma sequência de Folner de $G$ [resp. $H$]). Nesse sentido, os conjuntos de Folner que encontramos (preguiçosamente, no sentido de que são produzidos por uma prova geral) em tais grupos são "retangulares".
Daí os grupos mencionados acima [solucionáveis Baumslag-Solitar, alguns grupos metabelianos, grupos cujas séries de crescimento são racionais e não têm dois pólos no raio de convergência (que inclui muitos produtos de grinaldas e $ax+b$-grupos)] são uma resposta direta à sua segunda pergunta (para algum conjunto gerador). Sabe-se que as bolas (conjuntos geradores wrt) não são Folner, mas alguns conjuntos "retangulares" são (apenas para ser mais preciso: pode haver grupos com um único pólo que não são produtos semi-diretos ou extensões de grupos acessíveis; para esses grupos se algum for conhecido], não há conjuntos "retangulares").
Para extensões não divididas, uma descrição dos conjuntos de Folner foi fornecida por Ycor. Note que pode-se adaptar o significado de "retangular" para extensões não divididas: tomando uma pré-imagem do conjunto de Folner do quociente vezes algum conjunto de Folner do subgrupo.
Portanto, agora pode-se pensar que conjuntos "retangulares" (e não mais bolas) são os favoritos. Mas também existem grupos simples de crescimento intermediário, veja esta pergunta . E (se não for por esses grupos, então por outros grupos simples de crescimento subexponencial) acho que as bolas são os únicos candidatos que temos.
Basicamente, acho que o problema tem mais a ver com como construímos grupos receptivos. Sempre usamos as quatro propriedades de amenidade (extensão, subgrupo, quociente e limite direto). Portanto, alguns começam com o crescimento como critério básico e usam essas quatro propriedades (possivelmente, há muitas maneiras de fazer isso). Isso fornecerá os conjuntos de Folner conhecidos para um determinado grupo. Como um exemplo bobo, você poderia dizer que o Folner natural se instala$\mathbb{Z}^3$ são cilindros (bolas em $\mathbb{Z}^2$ vezes bolas dentro $\mathbb{Z}$)
Nota lateral 1: é uma questão em aberto de longa data provar quais são esses conjuntos no grupo de Heisenberg (contínuo) (embora a forma conjecturada seja bem descrita). Essa foi a minha motivação para esta pergunta.
Nota lateral 2: Conforme apontado por Ycor, dada uma sequência de Folner$F_n$ você pode torná-lo "tão estranho quanto você quiser", considerando uma sequência arbitrária de conjuntos finitos $E_n$ com $\dfrac{|E_n|}{|F_n|} \to 0$. Uma das vantagens de considerar as sequências de Folner ideais seria evitar tais configurações (a desvantagem óbvia, é que quase não há grupos onde os conjuntos ideais são conhecidos). Uma outra observação é que adicionar tal conjunto$E_n$não tem influência na medida invariante que se obtém (para um ultrafiltro fixo). Observe que a tradução dos conjuntos pode ter um efeito na medida de limite.
Side Note 3: Here is another aspect of the "strangeness" of Folner sets. Consider the sequence $P_n = [2^n,2^{n+1}]$, $M_n = [-2^{n+1},-2^n]$, as well as $A_n = (-1)^n \cdot P_n$ of sets in $\mathbb{Z}$. Then consider the function $f(n) = \mathrm{sign}(n)$. The invariant mean one gets from $P_n$ on $f$ is 1 (whatever the ultrafilter you choose), the one you get with $M_n$ is $-1$ (again, whatever the ultrafilter) and finally the one you get with $A_n$ depends on the ultafilter you choose. And you could construct for any real number in $[-1,1]$ a sequence $R_n$ which converges to that number (indenpendently of the ultrafilter). It's not too hard to construct a sequence which can, depending on the ultrafilter, converge to any rational number in $[-1,1]$.