Sobre a ligação entre homologia e homotopia

Question

No último semestre, aprendi álgebra homológica e teoria das categorias superiores / teoria da homotopia.

Mas fico meio confuso quando tento realmente entender a ligação entre os dois assuntos (esta não é realmente minha zona de conforto ...)

Portanto, tento escrever (uma espécie de autoexercício) um texto sobre álgebra homológica e teoria da homotopia, mas realmente apresento a partir de $0$ os dois assuntos.

Eu gostaria de apresentar os seguintes conceitos em álgebra homológica:

1. complexo de cadeia

1$\frac{1}{2}$. Grupo Grothendieck

1. homotopia de um complexo

2. categoria derivada

3. estruturas t

E também gostaria de apresentar os seguintes conceitos na teoria da homotopia:

1. Categorias de modelo

2. Categoria de homotopia de uma categoria de modelo

3. Derivação na definição de categorias de modelo

4. Quase categorias

4.5. objeto simplicial em uma categoria e homotopia neste contexto

1. Equivalência Dold-Kan

Agora a parte "difícil" começa:

Como organizar bem esses conceitos? Para 1-3 (seja em homologia / homotopia) eu acho que sei como fazer isso, mas para 3-5, especialmente em homotopia, eu não tenho ideia ...

Isso dá origem às minhas perguntas:

1. Como motivar categorias infinitas, ou mais geralmente teoria da homotopia / teoria das categorias superiores, mas de um ponto de vista homológico. Eu li em algum lugar uma talvez boa ideia:

Para uma categoria abeliana $\mathcal{A}$, a categoria derivada $\mathcal{D(A)}$ não é definido por uma propriedade universal.

Li em algum lugar que, em certo sentido, a teoria das categorias superiores resolve o problema. Ok, mas por quê? E precisamos de quase categorias ou as categorias do modelo seriam suficientes para fazer isso?

1. Se alguém tiver alguma ideia para organizar este texto abro a qualquer sugestão.

Ficaria muito grato se alguém pudesse me dar algumas dicas para fazer este exercício.

Answer 1

Eu encorajaria o OP a ler os escritos de outras pessoas sobre este tópico, antes de tentar escrever algo do zero. Participei de palestras na OSU onde Aaron Mazel-Gee motivou$\infty$-categorias muito semelhantes às sugeridas pelo OP na Questão 1. Parece que algumas das ideias dessas palestras já apareceram aqui .

Quanto à pergunta 2, o livro de Weibel, Introdução à álgebra homológica, faz um ótimo trabalho com a primeira coleção de tópicos, então o livro de Hovey (ou Dwyer-Spalinski ) fornece os primeiros três itens da segunda coleção e os livros de Lurie fornecem tudo o que você poderia desejar sobre categorias quase-casuais e sua conexão com categorias de modelos e álgebra homológica (sério, as introduções que ele escreve para cada capítulo são fenomenais). Quanto à correspondência Dold-Kan, embora eu tenha certeza de que aparece em algum lugar dos escritos de Lurie, a exposição mais clara que li em qualquer lugar é a de Akhil Mathew.

Concordo com Arthur que, se você tivesse uma mente mais categorizada, poderia inverter a ordem (por exemplo, começando com Lurie, se você já conhecesse conjuntos simpliciais). Para mim, prefiro começar com algo concreto e depois construir a abstração em cima disso, aos poucos, como sugere esse ordenamento. O livro de Weibel realmente foi escrito de forma a facilitar a passagem a partir daí para categorias trianguladas, categorias de modelo e quase categorias. Mas começa em um lugar muito acessível para os algebraists.

Answer 2

Vou responder sua segunda pergunta primeiro. Até certo ponto, a ordem que você escolher dependerá em grande parte se você deseja iniciar com exemplos ou com abstração completa. Como exemplo, você pode introduzir resoluções projetivas e a categoria derivada usando apenas fatos sobre$\text{Ch}(\mathcal{A})$ e o cálculo de frações do minério (veja o livro de Weibel para um tratamento como este) ou você pode introduzir categorias de modelo, provar suas propriedades, provar que $\text{Ch}(\mathcal{A})$admite uma estrutura de modelo projetiva usando um argumento de objeto pequeno (veja esta página nLab para um esboço do argumento), e chega assim a uma descrição da categoria derivada como uma categoria de homotopia.

Pessoalmente, acho que a segunda conta seria desnecessariamente complicada e faria mais sentido introduzir alguma álgebra homológica primeiro, não menos porque, dessa forma, você pode introduzir a estrutura do modelo projetivo como um exemplo de uma estrutura de modelo, a resolução projetiva como um exemplo de um resolução de cofibrante, categoria derivada como um exemplo de uma categoria de homotopia et cetera; Esses conceitos podem ser difíceis de obter intuição sem vários exemplos! Mas ambos os pedidos estão disponíveis para você.

Sobre a questão das categorias do modelo e quase-categorias: as categorias do modelo podem ser vistas como "apresentações" para quase-categorias (veja esta página do nLab para esta perspectiva e os Apêndices A.2 e A.3 da Teoria dos Topos Superiores de Lurie para um desenvolvimento da teoria de categorias de modelo com este objetivo explícito). Quase-categorias têm várias vantagens sobre categorias de modelo: por exemplo, há uma quase-categoria de functores de qualquer quase-categoria para outra, ao passo que a afirmação análoga não é válida para categorias de modelo. Estruturas de modelo estão fortemente envolvidas em muitas das provas fundamentais sobre categorias quase-casuais, portanto, não há duas maneiras de ordenar esses tópicos.

Sobre sua primeira pergunta: pessoalmente, não acredito que a álgebra homológica seja motivação suficiente para introduzir categorias de modelo ou categorias infinitas. Conforme levantado nos comentários, a categoria triangulada$\mathcal{D}(\mathcal{A})$não permite cones funcionais e isso é irritante em algumas aplicações, mas as pessoas se deram muito bem com a aplicação de álgebra homológica por décadas antes de as pessoas começarem a falar sobre categorias dg- e quasic. Uma ordem mais forte para seu texto, em minha opinião, seria introduzir conceitos básicos da álgebra homológica e, em seguida, usá-los como exemplos quando começar a falar sobre categorias de modelo e, finalmente, categorias quase.

Sobre a questão de uma propriedade universal para $\mathcal{D}(\mathcal{A})$usando categorias infinitas, você pode achar a seção 1.3.3 de Álgebra Superior de Lurie útil. Observe, no entanto, que$\mathcal{D}(\mathcal{A})$ certamente tem uma propriedade universal na linguagem comum de 1 categoria: é a localização de $\text{Ch}(\mathcal{A})$ nos quase isomorfismos.