Solução estranha de substituição em equações

Question

Eu encontrei este exemplo de como você pode acabar com uma solução estranha, mas estava me perguntando como ela surgiu. Temos a equação:$$x^2+x+1=0 $$ Como x = 0 não satisfaz a equação, você pode dividir por x em ambos os lados, o que resulta em: $$x+1+\frac{1}{x}=0$$que é equivalente à nossa primeira equação. De nossa primeira equação, podemos concluir que:$$-x^2=x+1$$ Agora substituímos isso na segunda equação para obter:$$x^2=\frac{1}{x}$$ o que resulta em $$x^3=1$$que é equivalente à nossa equação anterior, já que x não pode ser 0. No entanto, uma solução de nossa última equação é x = 1, o que não é uma solução para nossa equação original. Tenho uma vaga ideia de que pode ter a ver com o fato de que você obteve uma equação cúbica e começou com uma quadrática, e que as etapas implicam o seguinte e não vice-versa, mas você pode fornecer uma resposta muito detalhada sobre o motivo disso surge? Você pode fornecer mais exemplos?

Answer 1

Se ligarmos $A(x)=x^2+x+1$ e $B(x)=x+1+\frac1x$, podemos esquematizar suas passagens da seguinte forma: $$A(x)=0\Leftrightarrow \begin{cases}x\ne 0\\ B(x)=0\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}x\ne 0\\ A(x)=0 \\B(x)=0\end{cases}\stackrel{!!!}\Rightarrow \begin{cases}x\ne 0\\ B(x)-A(x)=0\end{cases}$$

Considerando que, para preservar a equivalência, você deveria ter mantido $A(x)=0$ no $\begin{cases}x\ne0\\ B(x)-A(x)=0\\ A(x)=0\end{cases}$

Answer 2

Esta substituição ($x+1=-x^2$) expande um conjunto de raízes da equação

Porque $-x^2$ também depende de $x$.

Você pode substituir $x+1=y$, por exemplo.

Mais exemplo, quando uma substituição semelhante dá problemas semelhantes.

Vamos precisar resolver $$\sqrt[3]{2x+1}+\sqrt[3]{x+1}=\sqrt[3]{x-1}.$$

Nós obtemos: $$\left(\sqrt[3]{2x+1}+\sqrt[3]{x+1}\right)^3=x-1$$ ou $$2x+1+x+1+3\sqrt[3]{2x+1}\cdot\sqrt[3]{x+1}\left(\sqrt[3]{2x+1}+\sqrt[3]{x+1}\right)=x-1.$$ Agora, desde $$\sqrt[3]{2x+1}+\sqrt[3]{x+1}=\sqrt[3]{x-1},$$ o que pode resultar em algo ruim, obtemos: $$3\sqrt[3]{(2x+1)(x+1)(x-1)}=-3-2x$$ ou $$x(440x^2+630x+189)=0$$ e temos como uma das opções $x=0$.

Fácil de ver isso $0$ não é a raiz da equação inicial e aconteceu

porque usamos uma substituição incorreta $\sqrt[3]{2x+1}+\sqrt[3]{x+1}=\sqrt[3]{x-1}.$

Agora, precisamos verificar se todas as raízes da equação $440x^2+630x+189=0$ são raízes da equação inicial, o que não é tão fácil.

Se quisermos evitar esses problemas, precisamos usar a seguinte identidade. $$a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc)$$

Answer 3

Todas as transformações de uma equação devem ser reversíveis. Com$x=0$,

$$x^2+x+1=0\leftrightarrow x+1+\frac1x=0$$ está bem.

Mas combinar duas equações em uma $$\begin{cases}x+1=-\dfrac1x\\x+1=-x^2\end{cases}\leftrightarrow x^2=\frac1x$$ não é.