$ \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{\sin^2 (kx)}{k}$ e $ \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{\cos^2 (kx)}{k}$

Question

Vamos examinar a série $ \sum\limits_{k=1}^{+\infty} \dfrac{\sin^2 (kx)}{k}$ e $ \sum\limits_{k=1}^{+\infty} \dfrac{\cos^2 (kx)}{k}$

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Minha tentativa:
$\forall t , ~ \cos^2(t) + \sin^2(t) =1$ e $\sum\limits_{k \ge 1} \dfrac{1}{k} =\infty$.
Como os dois termos são positivos, pelo menos um das séries deve ser divergente.
Como provar que as duas séries são divergentes?

Conforme dado na dica, $\cos^2(kx)= 1 + 2 \cos(2kx)$

Answer 1

DICA:

Ambas as séries divergem. Para mostrar isso, faça uso das identidades

$$\begin{align} \sin^2(x)&=\frac{1-\cos(2x)}{2}\\\\ \cos^2(x)&=\frac{1+\cos(2x)}{2} \end{align}$$

junto com o fato de que $\sum_{n=1}^\infty \frac{\cos(2nx)}{n}$ converge para $x\ne m\pi$, $m\in \mathbb{Z}$, conforme garantido por https://en.wikipedia.org/wiki/Dirichlet%27s_test#Statement.