Todas as matrizes hermitianas semelhantes são unitariamente semelhantes?

Question

Eu não estava $100\%$ tenho certeza da exatidão do que obtive, então posso pedir uma verificação?

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Deixei $A,B\in M_n(\Bbb C)$ser duas matrizes hermitianas semelhantes. Então$A=P^{-1}BP$.

De acordo com o teorema espectral, toda matriz Hermitiana é diagonalizável, então $A=U_1^{-1}DU_1$ e $B=U_2^{-1}DU_2$, Onde $U_1,U_2\in M_n(\Bbb C)$ são unitários e $D=\left(\delta_{ij}\right)\in M_n(\Bbb C)$ é diagonal st $\delta_{ii}\in\sigma(A)=\sigma(B)$.

Desde a $A$ e $B$ são unitariamente semelhantes a $D$, Eu queria escrever $A$ na seguinte forma: $$A=P^{-1}U_2^{-1}DU_2P$$ Então $U_2P=U_1\implies P=U_2^{-1}U_1$. Desde ambos$U_1$ e $U_2^{-1}$ são unitários, $P$, como produto de duas matrizes unitárias, também é unitário.

Pergunta de acordo com este resultado:

Todas as matrizes hermitianas semelhantes são unitariamente semelhantes ?

Se isso for válido, pode ser usado na prova de que a representação matricial de um operador Hermitiano em uma base ortonormal é uma matriz Hermitiana? A afirmação é óbvia quando, dada uma matriz hermitiana arbitrária, é necessário diagonalizá-la. eu pensei$P$ poderia ser a matriz de transição de uma base ortonormal para outra.

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Agradeço antecipadamente!

Answer 1

Como verificado por @ StephenMontgomery-Smith, todas as matrizes Hermitianas semelhantes são unitariamente semelhantes, de fato.

Howerver, $P$ não precisa ser necessariamente unitário se, por exemplo, $A=B=0$. Então todo invertível$P$ seria o suficiente.

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Você pode ver esta pergunta paralela que postei no Quora, respondida ontem por Aaron Dunbrack .