Todo monóide cancelável invertível pode ser incorporado em um grupo?
Um monóide é livre de inversão se$xy=1$ implica $x=y=1$ para todos $x,y$.
Pergunta: Todo monóide cancelável livre de inversão pode ser incorporado em um grupo?
Tenho quase certeza de que um quociente do produto livre de tal monóide com seu espelho (este é o monóide com os mesmos elementos e identidade, mas multiplicação invertida, ou seja, $x\cdot y=yx$) é o grupo "mais geral" no qual pode ser incorporado.
Esta é a versão não comutativa da construção dos inteiros a partir dos números naturais.
Isso aparece em algum lugar da literatura como um problema / proposição / teorema?
Respostas
Não, não é verdade nem mesmo para monóides gerados finitamente. Pegue qualquer semigrupo$S$que é cancelativa e não se incorpora a um grupo (os primeiros exemplos foram construídos por Malcev). Considere o monóide$S^1$ qual é $S\sqcup\{1\}$ com $1$ a (novo se $S$é um elemento neutro monóide. Então$S^1$é um monóide livre de inversão que não se encaixa em um grupo. É cancelativo se$S$ não tem um elemento neutro.