todos $A_i$ são conjuntos conectados de modo que $\bigcap\limits_{i\in E} A_i \neq \emptyset$ então $\bigcup\limits_{i \in E} A_i$ está conectado [duplicado]

Question

Esta é a minha prova

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Suponha que não. Então,$\cup A_i$ tem uma partição aberta $\{U,V\}$

$U \subseteq \cup A_i$ então, só precisamos mostrar dois casos:

1. $U \subseteq \cup A_j$ com $U \neq \cup A_j$ para alguns $J \subseteq E$. Então existe algum$A_k$ de tal modo que $U \neq A_k$ com $U \cap A_k \neq \emptyset$. portanto$\{ U \cap A_k,V \cap A_k \}$ é uma partição aberta de $A_k$. Por suposição,$A_k$está conectado. É uma contradição com [$\cup A_i$ está desconectado]

2. $U= \cup A_t$ para alguns $T \subseteq E$. Desde a$V \neq \emptyset$, existe algum $A_k$ de tal modo que $(A_k-U) \neq \emptyset$. Deixei$J=T \cup \{k\}$. Então, no caso 1, é uma contradição com [$\cup A_i$ está desconectado]

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Está tudo bem??
Eu não tenho certeza sobre isso...

Answer 1

Existem várias coisas que não entendo na sua prova. Em particular:

1. $U \neq \bigcup_j A_j$ : em qual conjunto é realizada a união?

2. Mesmas coisas para o caso 2. com $T$.

Eu diria apenas como $$\bigcap_{j \in J} A_j$$ é suposto não estar vazio, vamos pegar $x \in \bigcap_{j \in J} A_j$.

Como por hipótese $$\bigcup_{j \in J} A_j \subseteq U \cap V,$$ podemos supor sem perda de generalidade que $x \in U$ (podemos trocar o papel de $U,V$ no outro caso).

Agora para qualquer $j \in J$, $A_j$ deve estar conectado e $x \in A_j$. Portanto$A_ j \subseteq U$ e finalmente $$\bigcup_{j \in J} A_j \subseteq U$$ provando que o sindicato está conectado.