Traçar uma função por partes iterada com nós endógenos

Question

Estou tentando representar graficamente uma função por partes que posso definir recursivamente, em que os nós também são endógenos. Basicamente,$f(l)=a^{t}$ quando $l \in \left( \frac{\mu}{\alpha^{t-1}(1-\alpha)+\mu(1-\alpha^{t-1})};\frac{\mu}{\alpha^{t}(1-\alpha)+\mu(1-\alpha^{t})} \right]$. $t=1,2,...N$, ambos $\alpha$ e $\mu$ $\in (0,1)$ e eu preciso traçar isso para $l \in \left[\frac{\mu}{1-\alpha},1\right)$

Eu posso escrever manualmente bit a bit e então atribuir o valor t = 1, mas eu gostaria que o programa fizesse isso para mim, para cada t = 1,2,3 ... para que eu pudesse plotar tudo para Vou para 1. Existe uma maneira? Muito obrigado antecipadamente!

a = 0.3;
mu = 0.2;
t = 1;
f[l_] = Piecewise[{{1, 
     l <= mu/(a^(t - 1) (1 - a) + mu (1 - a^(t - 1)))}, {a^t, 
     mu/(a^(t - 1) (1 - a) + mu (1 - a^(t - 1))) < l <= mu/(
      a^t (1 - a) + mu (1 - a^t))}, {a^(t + 1), 
     mu/(a^t (1 - a) + mu (1 - a^t)) < l <= mu/(
      a^(t + 1) (1 - a) + mu (1 - a^(t + 1)))}, {a^(t + 2), 
     mu/(a^(t + 1) (1 - a) + mu (1 - a^(t + 1))) < l <= mu/(
      a^(t + 2) (1 - a) + mu (1 - a^(t + 2)))}, {a^(t + 3), 
     mu/(a^(t + 2) (1 - a) + mu (1 - a^(t + 2))) < l <= mu/(
      a^(t + 3) (1 - a) + mu (1 - a^(t + 3)))}}];
Plot[f[l], {l, mu/(1-a), mu/(a^(t + 3) (1 - a) + mu (1 - a^(t + 3)))}, 
 AxesLabel -> Automatic]

Answer 1

Você pode escrever assim:

Lhi[i_, a_, mu_, t_] := mu/((1-a)a^(-1+t+i)+(1-a^(-1+t+i))mu)

pw[l_, a_, mu_, t_, n_] := 
 Piecewise[
  MapIndexed[
   If[First[#2]==1, {1,l<=#1[[2]]},{a^(First[#2]-2+t),#1[[1]]<l<=#1[[2]]}]&, 
   Partition[Table[Lhi[i,a,mu,t], {i,-1,n}],2,1]]
  ]

With[{a = 0.3, mu = 0.2, t = 1, n = 4},
 Plot[pw[l, a, mu, t, n], {l, mu/(1 - a), 
   mu/(a^(t+3)(1-a) + mu(1-a^(t+3)))}, 
  AxesLabel -> Automatic]
 ]