Transformada de Fourier do potencial de Coulomb em QFT

Question

Eu sou um estudante mestre de física de partículas e quero encontrar o potencial coulomb $V(r)$ a partir de $\tilde{V}(p)$na Teoria de Campos Quantum de Schwartz e no Modelo Padrão o que tenho como$\tilde{V}(p)$ da relação 16,58: $$ \tilde{V}(p)= \frac{e_{R}^{2}}{p_{\mu}p^{\mu}}\tag{16.58} $$ qual $e_{R}$ é renormalizado cobrado. o que eu faço para obter $V(r)$ é: $$ V(r)=\int^{\infty}_{-\infty} \frac{d^{4}p}{(2\pi)^4} e^{ip_{\mu}x^{\mu}}\tilde{V}(p)=\int\frac{ d_{0}p d^3p}{(2\pi)^{4}}e^{ip_{0}t-ipxcos\theta}\frac{1}{p_{0}^{2}-p^{2}} $$ e primeiro pegue $d_{0}p$ no contorno superior e: $$ \int d_{0}p e^{ip_{0}t}\frac{1}{(p_{0}-p)(p_{0}+p)}=i \pi (\frac{e^{ipt}}{2p}-\frac{e^{ipt}}{2p}) $$ assim: $$ V(r)=\int\frac{d^3p}{(2\pi)^{4}}e^{-ipxcos\theta}i \pi (\frac{e^{ipt}}{2p}-\frac{e^{ipt}}{2p}) $$ escrever $d^{3}p=p^{2}dp d\phi dcos(\theta)$ temos: $$ V(r)=\int\frac{p^{2}dp d\phi dcos(\theta)}{(2\pi)^{4}}e^{-ipxcos\theta}i \pi (\frac{e^{ipt}}{2p}-\frac{e^{ipt}}{2p}) $$ levar $dcos(\theta)$ integral e nós temos: $$ \int^{1}_{-1} e^{-ipxcos(\theta)} dcos(\theta) = \frac{i}{px}(e^{-ipx}-e^{ipx}) $$ de volta ao integral e finalmente obtivemos: $$ V(r)=\int^{\infty}_{0}\frac{p^{2}dp}{(2\pi)^{3}}i \pi (\frac{e^{ipt}}{2p}-\frac{e^{ipt}}{2p})\frac{i}{px}(e^{-ipx}-e^{ipx})=\frac{1}{16\pi^{2}x}(\int^{\infty}_{-\infty} dp e^{ip(x+t)}-\int^{\infty}_{-\infty}dp e^{ip(t-x)}) $$ que é divergente e não é $V(r)=\frac{-e_{R}^{2}}{4\pi r}$ alguém pode me ajudar onde eu cometo um erro e me mostrar o caminho?

Answer 1

Esteja ciente de que você precisará realizar a transformação reversa no espaço de Fourier 3D - para o campo de fótons $p^2 = 0$, portanto, a sua expressão original para começar não faz muito sentido. Além disso, o clássico campo de Coulomb não depende do tempo, o que é outra dica para a transformação 3D.

No livro de Schwartz, isso é feito no cap. 3.4.2 (potencial Coulomb).

Recapitulando seus resultados:

$$ V(r) = \int \frac{d^3p}{(2\pi)^3} \frac{e_R^2}{p^2} = \int \frac{e^2_R}{(2\pi)^3} e^{-ipr\cos\theta} \sin\theta \, d\theta d\phi dp = \frac{e^2_R}{(2\pi)^2} \frac{1}{ir}\int^\infty_0 dp \frac{e^{ipr}-e^{-ipr}}{p} = \frac{e_R^2}{4\pi r} $$

onde na última etapa usei o resultado conhecido da integral de Dirichlet:

$$ \int^\infty_0 \frac{e^{iz}}{z}dz = i \frac{\pi}{2} $$

Espero que isto ajude.